प्रतिशत क्या है?
प्रतिशत 100 में से एक संख्या है। % चिह्न का अर्थ है "100 से भाग दो"। तो 7% = 7/100 = 0.07।
भिन्न, दशमलव और प्रतिशत में बदलना
- प्रतिशत → दशमलव: 100 से भाग दें (35% = 0.35)।
- दशमलव → प्रतिशत: 100 से गुणा करें (0.6 = 60%)।
- भिन्न → प्रतिशत: अंश को हर से भाग दें, फिर × 100 (3/8 = 0.375 = 37.5%)।
- प्रतिशत → भिन्न: 100 के ऊपर लिखें और सरल करें (45% = 9/20)।
अनुपात (proportion) को प्रतिशत में
24 में से 18 विद्यार्थी पैदल आते हैं, तो अनुपात 18/24 = 0.75 = 75% है।
किसी राशि का प्रतिशत निकालना
"A का x%" = A × x/100। 360 का 15% = 360 × 0.15 = 54।
मन में हिसाब: 10% = दसवाँ भाग, 5% = 10% का आधा, 1% = सौवाँ भाग। 360 का 15% = 36 + 18 = 54।
एक संख्या दूसरी का कितना प्रतिशत?
पूरे के भिन्न के रूप में लिखें, फिर × 100। 40 में से 12 = 12/40 × 100 = 30%। पहले दोनों को एक ही इकाई में करें (2 घंटे में से 45 मिनट = 45/120 = 37.5%)।
प्रतिशत परिवर्तन और गुणक
प्रतिशत परिवर्तन = (नया − मूल) ÷ मूल × 100। धनात्मक उत्तर = वृद्धि, ऋणात्मक = कमी। हमेशा मूल मान से भाग दें।
गुणक (multiplier)
r% वृद्धि → (1 + r/100) से गुणा। r% कमी → (1 − r/100) से गुणा। जैसे +8% → × 1.08, −30% → × 0.7। × 0.85 का अर्थ है 15% कमी।
प्रतिशत अंक (percentage points)
दर 20% से 25% हुई तो यह 5 प्रतिशत अंक बढ़ी, पर पुरानी दर की तुलना में 25% बढ़ी (5 ÷ 20)।
क्रमागत और उल्टा प्रतिशत
क्रमागत परिवर्तन: गुणकों को गुणा करें। +10% फिर −10%: 1.1 × 0.9 = 0.99, यानी कुल −1%। +20% फिर +20% = × 1.44 = +44%, +40% नहीं।
बार-बार परिवर्तन (चक्रवृद्धि): n साल तक r% प्रति वर्ष → × (1 + r/100)ⁿ। ₹10,000 पर 5% वार्षिक, 3 साल: 10,000 × 1.05³ = ₹11,576.25।
उल्टा प्रतिशत: बदलाव के बाद का मान पता है। गुणक से भाग दें। 18% टैक्स के बाद कीमत ₹590 है, तो टैक्स से पहले 590 ÷ 1.18 = ₹500। 590 में से 18% न घटाएँ।
मुख्य सूत्र और परिभाषाएँ
- x% = x ÷ 100
- A का x% = A × x/100
- A, B का कितना % = (A ÷ B) × 100
- प्रतिशत परिवर्तन = (नया − मूल) ÷ मूल × 100
- r% वृद्धि: × (1 + r/100); r% कमी: × (1 − r/100)
- क्रमागत परिवर्तन: गुणकों का गुणनफल
- बार-बार परिवर्तन: अंतिम = मूल × (1 ± r/100)ⁿ
- उल्टा: मूल = नया ÷ गुणक
हल किए गए उदाहरण
1. 3/5 को प्रतिशत और दशमलव में लिखिए।
3 ÷ 5 = 0.6। 0.6 × 100 = 60%।
2. 240 m का 35% निकालिए।
240 × 0.35 = 84 m। (जाँच: 10% = 24, 30% = 72, 5% = 12, कुल 84।)
3. कक्षा में 32 विद्यार्थी हैं, 12 चश्मा पहनते हैं। कितने प्रतिशत?
12 ÷ 32 = 0.375, × 100 = 37.5%।
4. बस का किराया ₹40 से ₹46 हो गया। प्रतिशत वृद्धि?
बदलाव = 6। 6 ÷ 40 × 100 = 15% वृद्धि।
5. €800 के लैपटॉप पर 15% छूट, फिर 10% और छूट। अंतिम कीमत और कुल प्रतिशत परिवर्तन?
गुणक 0.85 और 0.9। 800 × 0.85 × 0.9 = €612। कुल गुणक 0.765, यानी 23.5% कमी (25% नहीं)।
6. 12% बढ़ने के बाद एक कस्बे की आबादी 28,000 है। पहले कितनी थी?
गुणक 1.12। 28,000 ÷ 1.12 = 25,000।
आम गलतियाँ
- प्रतिशत परिवर्तन में नए मान से भाग देना। हमेशा मूल मान से भाग दें।
- क्रमागत प्रतिशत जोड़ देना: +20% फिर +20% = +44%, +40% नहीं।
- उल्टे प्रतिशत में घटा देना: +18% को हटाने के लिए 1.18 से भाग दें, 18% न घटाएँ।
- प्रतिशत और प्रतिशत अंक में उलझना: 20% → 25% यानी +5 अंक, पर 25% वृद्धि।