बिंदु अनुमान और अंतराल अनुमान
पूरी जनसंख्या को मापना अक्सर संभव नहीं, इसलिए हम एक नमूना (sample) लेते हैं। नमूना माध्य x̄ जनसंख्या माध्य μ का अनुमान है। नमूना अनुपात p̂ जनसंख्या अनुपात p का अनुमान है।
x̄ = 150.4 cm जैसी एक संख्या बिंदु अनुमान है। यह काम की है, पर यह नहीं बताती कि यह कितनी ग़लत हो सकती है।
अंतराल अनुमान एक सीमा और भरोसे का स्तर देता है: "हमें 95% विश्वास है कि μ 147.3 cm और 153.5 cm के बीच है"।
हर अंतराल का रूप एक जैसा है: अनुमान ± (क्रांतिक मान) × (मानक त्रुटि)
± के बाद वाला भाग त्रुटि सीमा (margin of error, ME) है। अंतराल की चौड़ाई = 2 × ME।
माध्य का विश्वास्यता अंतराल (z और t)
जब σ ज्ञात हो (या n बड़ा हो)
x̄ की मानक त्रुटि σ/√n है। अंतराल: x̄ ± z* · σ/√n।
| स्तर | z* |
|---|---|
| 90% | 1.645 |
| 95% | 1.96 |
| 99% | 2.576 |
जब σ अज्ञात हो: t लो
अक्सर σ पता नहीं होता, तो नमूने का मानक विचलन s लेते हैं। इससे अनिश्चितता बढ़ती है, इसलिए t-बंटन लेते हैं, n − 1 स्वातंत्र्य कोटि (degrees of freedom) के साथ: x̄ ± t* · s/√n।
छोटे नमूने में t*, z* से बड़ा होता है (n = 10 पर 95% के लिए t* = 2.262)। n बढ़ने पर t*, z* के पास आ जाता है।
शर्तें
- यादृच्छिक: नमूना बिना पक्षपात चुना गया हो।
- स्वतंत्र: नमूना जनसंख्या के लगभग 10% से कम हो।
- सामान्य: जनसंख्या लगभग सामान्य हो, या n लगभग 30 या ज़्यादा हो (केंद्रीय सीमा प्रमेय)।
अनुपात का विश्वास्यता अंतराल
हाँ/ना वाले प्रश्न में p̂ = (हाँ की संख्या) ÷ n। मानक त्रुटि = √(p̂(1 − p̂)/n)।
p̂ ± z* · √(p̂(1 − p̂)/n)
शर्त: नमूने में कम से कम लगभग 10 "हाँ" और 10 "ना" हों।
नमूना आकार चुनना
त्रुटि सीमा E चाहिए तो: माध्य के लिए n = (z*σ/E)²; अनुपात के लिए n = p(1 − p)(z*/E)², अंदाज़ा न हो तो p = 0.5 लो। हमेशा ऊपर की ओर पूर्णांक बनाओ।
"95% विश्वास" का सही अर्थ
असली μ एक स्थिर संख्या है। नमूने-दर-नमूने अंतराल बदलता है। "95% विश्वास" का मतलब: अगर हम बार-बार नमूना लेकर हर बार अंतराल बनाएँ, तो लगभग 95% अंतराल μ को शामिल करेंगे (3D का चरण 5: 20 में से लगभग 19 पट्टियाँ हरी रेखा को छूती हैं)।
इसका मतलब यह नहीं कि 95% आँकड़े अंतराल में हैं, और न यह कि μ इधर-उधर घूमता है।
अंतराल पतला कैसे हो?
- बड़ा नमूना: 4 गुना नमूना = आधी त्रुटि सीमा।
- कम विश्वास स्तर: पतला, पर भरोसा कम।
- आँकड़ों में कम फैलाव (छोटा σ)।
दो समूहों की तुलना और दावे की जाँच
दो माध्यों का अंतर
(x̄₁ − x̄₂) ± t* · √(s₁²/n₁ + s₂²/n₂)। बड़े नमूनों में t* ≈ z*। जोड़ीदार आँकड़ों (वही लोग दो बार मापे गए) में हर व्यक्ति का अंतर निकालकर एक-नमूना अंतराल बनाओ।
दो अनुपातों का अंतर
(p̂₁ − p̂₂) ± z* · √(p̂₁(1 − p̂₁)/n₁ + p̂₂(1 − p̂₂)/n₂)।
अंतराल से दावा जाँचना
- दावा अंतराल के अंदर: मानने लायक, अस्वीकार नहीं कर सकते।
- दावा बाहर: आँकड़े दावे के ख़िलाफ़ सबूत देते हैं।
- अंतर के लिए देखो कि 0 अंदर है या नहीं। 0 बाहर हो तो दोनों समूह सच में अलग लगते हैं।
यह दो-पुच्छीय परिकल्पना परीक्षण से मेल खाता है: 95% अंतराल दावे को छोड़ दे तो 5% स्तर पर दावा अस्वीकार।
खुद करके देखो
20 दोस्तों से पूछो कि कल रात कितने घंटे सोए। x̄ और s निकालो। t* = 2.093 (df = 19) से 95% अंतराल बनाओ। फिर 20 और लोगों से पूछकर सभी 40 से दोबारा बनाओ (t* ≈ 2.023)। क्या नया अंतराल पतला है? 3D में n का स्लाइडर खिसकाकर पट्टी को सिकुड़ते देखो।
मुख्य सूत्र और परिभाषाएँ
- अंतराल = अनुमान ± क्रांतिक मान × मानक त्रुटि
- माध्य, σ ज्ञात: x̄ ± z* · σ/√n
- माध्य, σ अज्ञात: x̄ ± t* · s/√n, df = n − 1
- अनुपात: p̂ ± z* · √(p̂(1 − p̂)/n)
- दो माध्य: (x̄₁ − x̄₂) ± t* · √(s₁²/n₁ + s₂²/n₂)
- दो अनुपात: (p̂₁ − p̂₂) ± z* · √(p̂₁(1 − p̂₁)/n₁ + p̂₂(1 − p̂₂)/n₂)
- नमूना आकार: माध्य के लिए n = (z*σ/E)²; अनुपात के लिए n = p(1 − p)(z*/E)²
हल किए गए उदाहरण
1. 25 बच्चों के यादृच्छिक नमूने की औसत लंबाई x̄ = 150.4 cm है, σ = 8 cm। μ का 95% अंतराल निकालो।
SE = 8/√25 = 1.6 cm। ME = 1.96 × 1.6 = 3.14 cm। अंतराल: 150.4 ± 3.14 = (147.26, 153.54) cm। हमें 95% विश्वास है कि ऐसे सभी बच्चों की औसत लंबाई 147.3 cm और 153.5 cm के बीच है।
2. उदाहरण 1 को 99% विश्वास पर दोहराओ।
ME = 2.576 × 1.6 = 4.12 cm। अंतराल: (146.28, 154.52) cm। ज़्यादा विश्वास के कारण यह चौड़ा है।
3. 400 में से 220 छात्र ऑनलाइन नोट्स पसंद करते हैं। असली अनुपात का 95% अंतराल निकालो। क्या बहुमत ऑनलाइन नोट्स पसंद करता है?
p̂ = 0.55। SE = √(0.55 × 0.45/400) ≈ 0.0249। ME = 1.96 × 0.0249 ≈ 0.049। अंतराल: (0.501, 0.599)। पूरा अंतराल 0.5 से ऊपर है, तो बहुमत का समर्थन है, पर बहुत कम अंतर से।
4. मशीन को 50 g के पैकेट भरने हैं। 10 पैकेट: x̄ = 48.2 g, s = 2.5 g। 95% अंतराल बनाओ (df = 9 पर t* = 2.262)। क्या मशीन ठीक है?
SE = 2.5/√10 ≈ 0.791 g। ME = 2.262 × 0.791 ≈ 1.79 g। अंतराल: (46.41, 49.99) g। 50 g ज़रा-सा बाहर है, तो सबूत है कि मशीन कम भर रही है।
5. σ = 8 cm हो तो ±2 cm के अंदर 95% विश्वास से औसत लंबाई जानने के लिए कितने बच्चे मापने होंगे?
n = (1.96 × 8 / 2)² = 7.84² = 61.47। ऊपर की ओर: n = 62 बच्चे।
6. शहर A: 50 लोग, औसत आने-जाने का समय 72 मिनट, s = 10। शहर B: 60 लोग, औसत 68 मिनट, s = 12। μA − μB का 95% अंतराल (1.96 लो)। क्या सच में अंतर है?
अंतर = 4 मिनट। SE = √(100/50 + 144/60) = √4.4 ≈ 2.10। ME ≈ 4.11। अंतराल: (−0.11, 8.11)। 0 अंदर है, तो पक्का नहीं कह सकते कि समय अलग है।
7. पुराना ऐप: 200 में से 90 ने क्लिक किया। नया ऐप: 200 में से 120। pनया − pपुराना का 95% अंतराल निकालो।
0.60 − 0.45 = 0.15। SE = √(0.6 × 0.4/200 + 0.45 × 0.55/200) ≈ 0.0494। ME ≈ 0.097। अंतराल: (0.053, 0.247)। 0 बाहर है, तो नया ऐप सच में बेहतर लगता है।
आम गलतियाँ
- यह कहना कि "μ के इस अंतराल में होने की 95% संभावना है", जैसे μ घूमता हो। μ स्थिर है; तरीका 95% बार सही बैठता है।
- σ अज्ञात और छोटे नमूने में भी z* लेना। n − 1 df वाला t* लो।
- √n का वर्गमूल भूल जाना, या √n की जगह n से भाग देना।
- नमूना आकार नीचे की ओर पूर्णांक करना। 61.47 का मतलब 62, कभी 61 नहीं।