समष्टि, प्रतिदर्श और जनगणना
समष्टि (population) वह पूरा समूह है जिसका अध्ययन करना है: स्कूल के सब विद्यार्थी, फ़ैक्टरी के सब बल्ब, तालाब की सब मछलियाँ।
जनगणना (census) में हर सदस्य जाँचा जाता है। यह सटीक है पर धीमी और महँगी, और कभी-कभी असंभव (हर माचिस की तीली जलाकर नहीं जाँच सकते!)।
प्रतिदर्श (sample) समष्टि का छोटा भाग है जिसे हम सच में जाँचते हैं। प्रतिदर्श से समष्टि के बारे में अनुमान लगाते हैं। प्रतिदर्श से समष्टि तक के इस कदम को सांख्यिकीय अनुमिति (statistical inference) कहते हैं।
सरल यादृच्छिक प्रतिचयन
सरल यादृच्छिक प्रतिदर्श में समष्टि के हर सदस्य का चुने जाने का मौका बराबर होता है।
कैसे करें: हर सदस्य को 1 से N तक नंबर दें। फिर लॉटरी (डिब्बे में पर्चियाँ), यादृच्छिक संख्या सारणी, या कैलकुलेटर, स्प्रेडशीट (RAND) या Python (random.sample) से यादृच्छिक संख्याएँ लें। दोहराव छोड़ दें।
स्तरीकृत और क्रमबद्ध प्रतिचयन
स्तरीकृत प्रतिचयन: समष्टि को अलग-अलग समूहों (स्तरों, strata) में बाँटें, जैसे कक्षाएँ, आयु-वर्ग या क्षेत्र। हर समूह से उसके आकार के अनुपात में यादृच्छिक प्रतिदर्श लें।
उदाहरण: स्कूल में 600 लड़के और 400 लड़कियाँ हैं। 50 के प्रतिदर्श में: लड़के = 600/1000 × 50 = 30, लड़कियाँ = 20।
क्रमबद्ध प्रतिचयन (systematic): N की सूची से हर k-वाँ सदस्य चुनें, जहाँ k = N ÷ n। शुरुआत 1 से k के बीच यादृच्छिक जगह से करें। आसान है, पर सूची में कोई दोहराता पैटर्न हो तो ग़लत हो सकता है।
पक्षपात: जब प्रतिदर्श भटकाता है
प्रतिदर्श पक्षपाती (biased) है अगर कुछ सदस्यों के चुने जाने का मौका ज़्यादा हो, जिससे प्रतिदर्श समष्टि जैसा न दिखे।
- सुविधा प्रतिदर्श: सिर्फ़ दोस्तों या पास वालों से पूछना।
- स्व-चयन: ऑनलाइन पोल में सिर्फ़ वे जवाब देते हैं जिन्हें बहुत परवाह है।
- अनुत्तर: चुने गए कई लोग जवाब ही नहीं देते।
- प्रेरक प्रश्न: "क्या आप नहीं मानते कि गृहकार्य बहुत लंबा है?"
बड़ा पक्षपाती प्रतिदर्श भी ग़लत ही रहता है। पक्षपात यादृच्छिक चुनाव से ठीक होता है, ज़्यादा लोग जोड़ने से नहीं।
प्रतिचयन-विचलन और बड़ी संख्याओं का नियम
एक ही समष्टि से लिए दो यादृच्छिक प्रतिदर्श आमतौर पर थोड़े अलग उत्तर देते हैं। यह प्रतिचयन-विचलन (sampling variation या fluctuation) है। यह ग़लती नहीं, संयोग है।
बड़ी संख्याओं का नियम: प्रतिदर्श जितना बड़ा, उसका अनुपात असली अनुपात p के उतना पास।
एक काम का नियम: n आकार के लगभग 95% प्रतिदर्शों का अनुपात p ± 1/√n के भीतर आता है। n = 100 पर ±0.1; n = 400 पर ±0.05। डगमगाहट आधी करनी हो तो प्रतिदर्श चार गुना चाहिए।
सिमुलेशन: यादृच्छिक प्रयोग बार-बार
सिमुलेशन यादृच्छिक संख्याओं से किसी संयोग वाली प्रक्रिया की बार-बार नक़ल करता है। जैसे सिक्के के लिए 0 और 1 के बीच यादृच्छिक संख्या लें; 0.5 से कम हो तो चित।
स्प्रेडशीट में: =IF(RAND()<0.3,1,0) प्रायिकता 0.3 से 1 देता है। इसे 100 सेलों में कॉपी करके औसत लें: एक प्रतिदर्श अनुपात मिला। बार-बार करके देखें अनुपात 0.3 के आस-पास कैसे फैलते हैं।
3D का खुला खेल ठीक ऐसा ही सिमुलेशन है।
प्रतिदर्श से अनुमान
प्रतिदर्श अनुपात p̂ हो तो समष्टि में संख्या का अनुमान p̂ × N।
पकड़-पुनर्पकड़ (जानवरों के लिए): M जानवरों पर निशान लगाकर छोड़ें। बाद में n पकड़ें, जिनमें m पर निशान है। तब m/n ≈ M/N, इसलिए N ≈ M × n ÷ m।
सर्वे के परिणाम अक्सर पाई चार्ट या आयतचित्र (histogram) से दिखाए जाते हैं, और साथ में प्रतिदर्श का आकार ज़रूर लिखा जाता है ताकि पाठक भरोसा परख सकें।
करके देखें: मोतियों वाला सर्वे
एक थैले में 30 लाल और 70 दूसरे रंग के मोती या बटन डालें। बिना देखे 10 निकालें, लाल गिनें, वापस डालें, हिलाएँ। ऐसा 5 बार करें और हर बार % लिखें। फिर 40-40 निकालकर 5 बार करें। कौन-से उत्तर 30% के ज़्यादा पास रहे? अब 3D खुले खेल में आकार 10 और 200 से यही करें।
मुख्य सूत्र और परिभाषाएँ
- प्रतिदर्श अनुपात p̂ = (गुण वाले सदस्य) ÷ (प्रतिदर्श आकार n)
- समष्टि में अनुमान ≈ p̂ × N
- स्तरीकृत में किसी समूह का हिस्सा = (समूह का आकार ÷ N) × n
- क्रमबद्ध चरण k = N ÷ n; लगभग 95% p̂, p ± 1/√n में
- पकड़-पुनर्पकड़: N ≈ M × n ÷ m
हल किए गए उदाहरण
1. एक फ़ैक्टरी अपने बल्बों की औसत आयु जानने के लिए 50 बल्ब जाँचती है। समष्टि और प्रतिदर्श बताएँ। जनगणना क्यों नहीं?
समष्टि: फ़ैक्टरी के सारे बल्ब। प्रतिदर्श: जाँचे गए 50 बल्ब। जनगणना में हर बल्ब फुँक जाता, बेचने को कुछ न बचता।
2. 40 विद्यार्थियों के यादृच्छिक प्रतिदर्श में 12 पैदल आते हैं। स्कूल में 900 विद्यार्थी हैं। कितने पैदल आते होंगे?
p̂ = 12 ÷ 40 = 0.3। अनुमान = 0.3 × 900 = 270 विद्यार्थी।
3. स्कूल में 600 लड़के और 400 लड़कियाँ हैं। 50 का स्तरीकृत प्रतिदर्श चुनें।
लड़के: 600/1000 × 50 = 30। लड़कियाँ: 400/1000 × 50 = 20। हर समूह से यादृच्छिक चुनें।
4. 500 सदस्यों की सूची से 25 का क्रमबद्ध प्रतिदर्श लें।
k = 500 ÷ 25 = 20। 1 से 20 के बीच यादृच्छिक शुरुआत, मान लें 7। फिर 7, 27, 47, … 487 तक।
5. 50 मछलियों पर निशान लगाकर छोड़ा। बाद में 40 पकड़ीं; 5 पर निशान था। तालाब में मछलियों का अनुमान लगाएँ।
N ≈ 50 × 40 ÷ 5 = 400 मछलियाँ।
6. असली हिस्सा p = 0.3 है और आप 100 के प्रतिदर्श लेते हैं। लगभग 95% प्रतिदर्श अनुपात किन मानों के बीच होंगे?
1/√100 = 0.1, इसलिए 0.3 − 0.1 = 0.2 और 0.3 + 0.1 = 0.4 के बीच।
7. एक वेबसाइट पूछती है कि क्या लोग पर्याप्त किताबें पढ़ते हैं। 5000 लोग वोट देते हैं। क्या यह देश का अच्छा प्रतिदर्श है?
नहीं। यह स्व-चयनित है: सिर्फ़ वे वेबसाइट-दर्शक जिन्होंने वोट देना चुना। यह पक्षपाती है, इसलिए बड़ा आकार मदद नहीं करता।
आम गलतियाँ
- यह सोचना कि बड़ा प्रतिदर्श पक्षपात ठीक कर देगा। वह सिर्फ़ संयोग की डगमगाहट घटाता है, पक्षपात नहीं।
- हर बिना-योजना वाले चुनाव को "यादृच्छिक" कहना। यादृच्छिक का अर्थ है हर सदस्य का बराबर, ज्ञात मौका।
- स्तरीकृत प्रतिचयन में हर समूह से बराबर संख्या लेना, जबकि समूह अलग-अलग आकार के हैं।
- यह उम्मीद करना कि हर यादृच्छिक प्रतिदर्श ठीक असली मान देगा। थोड़ा विचलन सामान्य है।