आकलन क्या है?
आकलन करने का मतलब है जल्दी से ऐसा उत्तर निकालना जो काफ़ी पास हो। सही-सही उत्तर ज़रूरी नहीं। पहले संख्याओं का पूर्णांकन (राउंड) करो ताकि हिसाब मन में हो जाए।
उदाहरण: 48 × 21 ≈ 50 × 20 = 1000। सही उत्तर 1008 है। अनुमान बहुत पास है।
आकलन क्यों?
- कैलकुलेटर का उत्तर सही लगता है या नहीं, जाँचने के लिए।
- जब पूरा आँकड़ा न हो तब योजना बनाने के लिए (खाना, पैसा, समय)।
- बड़े सवालों के लिए, जैसे शहर में कितनी कारें हैं।
आकलन के तरीके
1. पूर्णांकन
हर संख्या को 1 सार्थक अंक तक पूर्णांकित करो, फिर हिसाब करो। 389 + 612 ≈ 400 + 600 = 1000।
2. नमूना (हिस्सा गिनो)
छोटा हिस्सा गिनो और गुणा करो। हर परत में 5 × 5 घन और 4 परतें = लगभग 100 घन।
3. फ़र्मी प्रश्न
बड़े सवाल को छोटे-छोटे अंदाज़ों में तोड़ो। एक दिन में दिल कितनी बार धड़कता है? लगभग 70 प्रति मिनट × 60 × 24 ≈ 1,00,000। यह तरीका भौतिकविद एनरिको फ़र्मी के नाम पर है।
4. जानी-पहचानी चीज़ से तुलना
दरवाज़ा लगभग 2 m ऊँचा होता है। 15 दरवाज़ों जितनी ऊँची इमारत लगभग 30 m होगी।
परिमाण की कोटि (ऑर्डर ऑफ़ मैग्नीट्यूड)
किसी संख्या की परिमाण की कोटि वह 10 की घात है जो उसके सबसे पास है। नियम: संख्या को a × 10ⁿ लिखो; अगर a लगभग 3.16 से कम है तो कोटि n है, वरना n + 1।
| चीज़ | माप | कोटि |
|---|---|---|
| बाल की मोटाई | लगभग 10⁻⁴ m | −4 |
| इंसान की लंबाई | लगभग 1.7 m | 0 |
| माउंट एवरेस्ट की ऊँचाई | लगभग 8.8 × 10³ m | 4 |
| पृथ्वी की त्रिज्या | लगभग 6.4 × 10⁶ m | 7 |
अगर एक संख्या दूसरी से लगभग 10 गुना है, तो उनमें एक कोटि का अंतर है।
सही परिशुद्धता चुनना
उत्तर आँकड़ों से ज़्यादा सटीक नहीं दिखना चाहिए। अगर 70 धड़कन प्रति मिनट अंदाज़ा था, तो 1,00,800 कहना ठीक नहीं। कहो लगभग 1,00,000।
- ख़रीदारी में नज़दीकी 10 रुपये काफ़ी हैं।
- दवा की खुराक में बहुत सटीकता चाहिए।
- भौतिकी के आकलन में 1 सार्थक अंक या सिर्फ़ कोटि काफ़ी है।
आकलन से हम एक अनुमानित परिकल्पना (कंजेक्चर) बनाते हैं और फिर जाँचते हैं। अगर अनुमान और सही उत्तर बहुत दूर हों, तो हिसाब दोबारा देखो।
करके देखो: घर पर आकलन
एक मुट्ठी चावल लो। एक छोटी चम्मच के दाने गिनो। फिर देखो कितनी चम्मच से एक कप भरता है। गुणा करो। अब तुम्हें एक कप में दानों का अनुमान पता है। दोस्त के अनुमान से मिलाओ: क्या दोनों की कोटि एक है?
मुख्य सूत्र और परिभाषाएँ
- अनुमान = (एक हिस्से की गिनती) × (हिस्सों की संख्या)
- 1 सार्थक अंक तक पूर्णांकन करो, फिर हिसाब करो
- a × 10ⁿ की कोटि: n (अगर a < 3.16) या n + 1
- एक कोटि = 10 का गुणक
हल किए गए उदाहरण
1. 52 × 39 का आकलन करो।
पूर्णांकन: 50 × 40 = 2000। (सही: 2028)
2. 7.8 × 412 ÷ 1.9 का आकलन करो।
8 × 400 ÷ 2 = 1600।
3. स्टेडियम में 20 ब्लॉक हैं। हर ब्लॉक में 38 पंक्तियाँ और हर पंक्ति में 52 सीटें। कुल सीटों का अनुमान?
एक ब्लॉक ≈ 40 × 50 = 2000। कुल ≈ 20 × 2000 = 40,000 सीटें।
4. एक साल में कितने सेकंड? कोटि भी बताओ।
365 × 24 × 3600 = 3,15,36,000 ≈ 3 × 10⁷ s। a = 3 < 3.16, इसलिए कोटि 7।
5. 10 m × 8 m × 3 m कमरे की हवा का द्रव्यमान (घनत्व ≈ 1.2 kg/m³)?
आयतन = 240 m³। द्रव्यमान ≈ 240 × 1.2 ≈ 290 kg, लगभग 300 kg। कोटि 2।
6. फ़र्मी प्रश्न: 10 लाख लोगों का शहर रोज़ कितना पीने का पानी पीता है?
हर व्यक्ति लगभग 2 L। 10⁶ × 2 = 2 × 10⁶ L रोज़ (लगभग 20 लाख लीटर)।
आम गलतियाँ
- बहुत सारे अंक लिखना: 1,03,412 के अनुमान को लगभग 1,00,000 लिखो।
- एक संख्या बहुत ऊपर और दूसरी बहुत नीचे पूर्णांकित करना, जिससे अनुमान दूर चला जाए।
- इकाइयाँ भूलना: mm और m में 3 कोटियों का अंतर है।
- अनुमान को बेतुका अंदाज़ा समझना: अच्छे आकलन के पीछे हमेशा कारण होता है।