सार्थक अंक: जिन अंकों पर भरोसा है
मापी गई संख्या बताती है कि यंत्र कितना बारीक है। सार्थक अंक = सारे पक्के अंक + पहला अनिश्चित अंक।
गिनने के नियम
- सारे शून्येतर अंक सार्थक। 2.47 में 3.
- दो शून्येतर अंकों के बीच के शून्य सार्थक। 1.05 में 3.
- शुरू के शून्य (पहले शून्येतर अंक से पहले) कभी सार्थक नहीं। 0.0052 में 2.
- आखिर के शून्य सिर्फ़ तब सार्थक जब दशमलव हो। 2.300 में 4. 2300 साफ़ नहीं; 2.3 × 10³ (2) या 2.300 × 10³ (4) लिखो।
- a × 10ᵇ रूप में सिर्फ़ a के अंक गिनो। 10 की घात नहीं गिनी जाती।
- मात्रक बदलने से गिनती नहीं बदलती: 2.30 m = 230 cm = 0.00230 km, तीनों में 3.
- गिनी हुई या पक्की संख्याएँ (जैसे 2πr का 2) के अनगिनत सार्थक अंक माने जाते हैं।
पूर्णांकन और सार्थक अंकों के साथ गणित
पूर्णांकन (rounding off)
- हटने वाला पहला अंक 5 से बड़ा: आखिरी रखे अंक में 1 जोड़ो। 1.746 → 1.75.
- 5 से छोटा: वैसा ही रहने दो। 1.743 → 1.74.
- ठीक 5 (आगे कुछ नहीं): रखा अंक सम हो तो वैसा ही, विषम हो तो 1 जोड़ो। 2.745 → 2.74, 2.735 → 2.74.
गुणा और भाग
उत्तर में उतने सार्थक अंक रखो जितने सबसे कम सार्थक अंक वाली संख्या में हैं। 4.237 g ÷ 2.51 cm³ = 1.688… → 1.69 g cm⁻³.
जोड़ और घटाव
उतने दशमलव स्थान रखो जितने सबसे कम दशमलव स्थान वाली संख्या में हैं। 436.32 + 227.2 + 0.301 = 663.821 → 663.8.
पूर्णांकन सिर्फ़ आखिरी उत्तर में करो, बीच के चरणों में नहीं।
अनिश्चितता: त्रुटियों के प्रकार
त्रुटि = मापा गया मान − असली मान। यह "गलती" नहीं, हर पाठ्यांक में रहने वाला शक है।
क्रमबद्ध त्रुटियाँ (systematic)
ये हर पाठ्यांक को एक ही तरफ़ धकेलती हैं (सब ज़्यादा या सब कम)। कारण: खराब यंत्र (स्क्रू गेज की शून्य त्रुटि), गलत विधि (हवा का घर्षण भूल जाना), या व्यक्तिगत आदत (पैमाने को हमेशा तिरछा देखना, यानी लंबन)। उपाय: कारण ढूँढो और सुधारो।
यादृच्छिक त्रुटियाँ (random)
ये बिना किसी पैटर्न के ऊपर-नीचे होती हैं, जैसे ताप का थोड़ा बदलना या तुम्हारी प्रतिक्रिया का समय। उपाय: कई पाठ्यांक लो और माध्य निकालो।
अल्पतमांक त्रुटि (least count)
यंत्र जो सबसे छोटा मान पढ़ सके, वह उसका अल्पतमांक है: मीटर पैमाना 1 mm, वर्नियर 0.01 cm, स्क्रू गेज 0.001 cm. हर पाठ्यांक एक अल्पतमांक तक गलत हो सकता है। उपाय: बारीक यंत्र लो।
घर पर करके देखो
धागे से चाबी बाँधकर लोलक बनाओ। फ़ोन के स्टॉपवॉच से 10 दोलन का समय पाँच बार नापो। माध्य और माध्य निरपेक्ष त्रुटि निकालो। फिर 20 दोलन नापो: प्रतिशत त्रुटि घटती दिखेगी।
निरपेक्ष, आपेक्षिक और प्रतिशत त्रुटि
मान लो पाठ्यांक a₁, a₂, … aₙ हैं।
- माध्य (सबसे अच्छा मान): aमाध्य = (a₁ + a₂ + … + aₙ) ÷ n
- हर पाठ्यांक की निरपेक्ष त्रुटि: Δaᵢ = |aमाध्य − aᵢ|
- माध्य निरपेक्ष त्रुटि: Δaमाध्य = (|Δa₁| + … + |Δaₙ|) ÷ n
- परिणाम: a = aमाध्य ± Δaमाध्य
- आपेक्षिक त्रुटि = Δaमाध्य ÷ aमाध्य
- प्रतिशत त्रुटि = (Δaमाध्य ÷ aमाध्य) × 100%
त्रुटियों का संयोजन
| संक्रिया | त्रुटि का नियम (अधिकतम त्रुटि) |
|---|---|
| Z = A + B या Z = A − B | ΔZ = ΔA + ΔB (घटाने में भी निरपेक्ष त्रुटियाँ जुड़ती हैं) |
| Z = A × B या Z = A ÷ B | ΔZ/Z = ΔA/A + ΔB/B (आपेक्षिक त्रुटियाँ जुड़ती हैं) |
| Z = Aⁿ | ΔZ/Z = n (ΔA/A) |
| Z = Aᵖ Bᑫ ÷ Cʳ | ΔZ/Z = p ΔA/A + q ΔB/B + r ΔC/C |
जिस राशि की घात सबसे बड़ी, वह सबसे ज़्यादा त्रुटि जोड़ती है, इसलिए उसे सबसे ध्यान से नापो।
मुख्य सूत्र और परिभाषाएँ
- a_माध्य = (a₁ + a₂ + … + aₙ)/n
- Δaᵢ = |a_माध्य − aᵢ|; Δa_माध्य = Σ|Δaᵢ|/n
- आपेक्षिक त्रुटि = Δa/a; % त्रुटि = (Δa/a) × 100
- Z = A ± B → ΔZ = ΔA + ΔB
- Z = A × B या A/B → ΔZ/Z = ΔA/A + ΔB/B
- Z = Aᵖ Bᑫ/Cʳ → ΔZ/Z = pΔA/A + qΔB/B + rΔC/C
हल किए गए उदाहरण
1. सार्थक अंक गिनो: (a) 0.007020 (b) 6.320 × 10⁴ (c) 5000
(a) शुरू के शून्य नहीं गिनते; 7, 0, 2, 0 → 4. (b) 6, 3, 2, 0 → 4. (c) दशमलव नहीं, तो आखिरी शून्य साफ़ नहीं; आमतौर पर 1 (सब नापे हों तो 5.000 × 10³ लिखो)।
2. 2.5463 को 3 सार्थक अंकों तक और 7.850 को 2 सार्थक अंकों तक पूर्णांकित करो।
2.5463 → हटने वाला अंक 6 > 5 → 2.55. 7.850 → हटने वाला भाग ठीक 50, रखा अंक 8 सम → 7.8.
3. एक गुटके का द्रव्यमान 5.74 g और आयतन 1.2 cm³ है। घनत्व सही सार्थक अंकों में लिखो।
घनत्व = 5.74 ÷ 1.2 = 4.783… सबसे कम सार्थक अंक 2 (1.2 में), तो घनत्व = 4.8 g cm⁻³.
4. लोलक के आवर्तकाल के पाँच पाठ्यांक 2.63, 2.56, 2.42, 2.71, 2.80 s हैं। माध्य, माध्य निरपेक्ष त्रुटि, आपेक्षिक और प्रतिशत त्रुटि निकालो।
माध्य = 13.12 ÷ 5 = 2.624 ≈ 2.62 s. त्रुटियाँ: 0.01, 0.06, 0.20, 0.09, 0.18 → जोड़ 0.54 → माध्य निरपेक्ष त्रुटि = 0.108 ≈ 0.11 s. आपेक्षिक = 0.11 ÷ 2.62 = 0.04. प्रतिशत = 4%. परिणाम: 2.6 ± 0.1 s.
5. दो प्रतिरोध 100 ± 3 Ω और 200 ± 4 Ω श्रेणी में हैं। कुल प्रतिरोध?
R = 300 Ω. ΔR = 3 + 4 = 7 Ω. उत्तर 300 ± 7 Ω.
6. ताप 20.0 ± 0.5 °C और 50.0 ± 0.5 °C हैं। ताप में वृद्धि निकालो।
वृद्धि = 30.0 °C. घटाने में भी त्रुटियाँ जुड़ती हैं: 0.5 + 0.5 = 1.0 °C. उत्तर 30.0 ± 1.0 °C.
7. लंबाई 5.0 ± 0.1 cm, चौड़ाई 4.0 ± 0.1 cm. क्षेत्रफल त्रुटि सहित निकालो।
A = 20.0 cm². % त्रुटियाँ: 0.1/5 × 100 = 2%, 0.1/4 × 100 = 2.5%. कुल 4.5%. ΔA = 20 का 4.5% = 0.9 cm². A = 20.0 ± 0.9 cm².
8. Z = A²B³/√C. A, B, C में प्रतिशत त्रुटियाँ 1%, 2%, 4% हैं। Z में प्रतिशत त्रुटि?
2(1%) + 3(2%) + ½(4%) = 2 + 6 + 2 = 10%.
आम गलतियाँ
- 0.0045 के शून्यों को सार्थक गिनना। शुरू के शून्य कभी सार्थक नहीं।
- राशियाँ घटाते समय त्रुटियाँ भी घटा देना। निरपेक्ष त्रुटियाँ हमेशा जुड़ती हैं।
- हर बीच के चरण में पूर्णांकन करना। सिर्फ़ आखिरी उत्तर में करो।
- डेटा से ज़्यादा अंक लिखना, जैसे 1.2 cm³ से 4.783333 g cm⁻³.