अभिकेंद्र बल क्या है?

केंद्र की ओर लगने वाला नेट बल जो वस्तु को वृत्त में चलाता है, F = mv²/r. इसे तनाव, घर्षण या गुरुत्व जैसे असली बल देते हैं।

सड़कों के बंकन का सूत्र क्या है?

घर्षण के बिना tanθ = v²/(rg). घर्षण के साथ vmax = √[rg (μs + tanθ)/(1 − μs tanθ)].

मोड़ पर सड़कें ढालू क्यों बनाते हैं?

ताकि अभिलंब बल का एक हिस्सा केंद्र की ओर हो और घर्षण के साथ मिलकर अभिकेंद्र बल दे, जिससे ज़्यादा चाल पर भी सुरक्षित मुड़ सकें।

अभिकेंद्र बल और सड़कों का ढाल (बैंकिंग) कक्षा 11

वृत्त में चलती वस्तु की दिशा लगातार बदलती है, इसलिए उसे केंद्र की ओर नेट बल चाहिए: अभिकेंद्र बल F = mv²/r. यह कोई नया बल नहीं; तनाव, गुरुत्व, घर्षण या अभिलंब बल का हिस्सा इसे देता है। समतल सड़क पर सिर्फ़ घर्षण देता है, इसलिए vmax = √(μs r g). θ कोण पर ढालू सड़क पर अभिलंब बल का हिस्सा भी मदद करता है: घर्षण के बिना आदर्श चाल v₀ = √(r g tanθ), और घर्षण के साथ vmax = √[r g (μs + tanθ)/(1 − μs tanθ)].

अभिकेंद्र बल

एकसमान वृत्तीय गति में चाल वही रहती है पर दिशा लगातार बदलती है। वेग में बदलाव त्वरण है, इसलिए नेट बल होना चाहिए। यह त्वरण केंद्र की ओर है:

a_c = v²/r = ω² r

दूसरे नियम से केंद्र की ओर नेट बल

F_c = m v²/r = m ω² r

यही अभिकेंद्र बल ("केंद्र की ओर जाने वाला") है। यह कोई नया बल नहीं; जो भी असली बल (या बलों का योग) केंद्र की ओर है, उसी का नाम है:

डोरी पर पत्थर: तनाव।
पृथ्वी के चारों ओर चंद्रमा: गुरुत्व।
समतल मोड़ पर कार: स्थैतिक घर्षण।
ढालू सड़क पर कार: अभिलंब बल का हिस्सा (और घर्षण)।

यह बल अचानक हट जाए तो वस्तु स्पर्शरेखा पर चली जाती है (पहला नियम)। अभिकेंद्र बल हमेशा वेग के लंबवत है, इसलिए यह सिर्फ़ दिशा बदलता है, चाल नहीं।

समतल सड़क पर कार की गति

कार पर बल: भार mg नीचे, अभिलंब बल N ऊपर, और सड़क के साथ केंद्र की ओर स्थैतिक घर्षण f.

ऊर्ध्वाधर: N = mg. केंद्र की ओर: f = m v²/r.

घर्षण μ_s N से ज़्यादा नहीं हो सकता, इसलिए m v²/r ≤ μ_s m g, यानी

v_max = √(μ_s r g)

सुरक्षित चाल कार के द्रव्यमान पर निर्भर नहीं। गीली सड़क पर μ_s कम, इसलिए v_max भी कम। यहाँ घर्षण स्थैतिक है, क्योंकि टायर बगल में फिसल नहीं रहे।

ढालू सड़क पर कार की गति

बंकन (ढाल) का मतलब है मोड़ वाली सड़क के बाहरी किनारे को भीतरी किनारे से θ कोण जितना ऊँचा करना। तब अभिलंब बल केंद्र की ओर झुक जाता है।

घर्षण के बिना

ऊर्ध्वाधर: N cos θ = mg. केंद्र की ओर: N sin θ = m v²/r. भाग देने पर

tan θ = v²/(r g), इसलिए आदर्श चाल v₀ = √(r g tan θ). इस चाल पर घर्षण की ज़रूरत नहीं और टायर कम घिसते हैं।

घर्षण के साथ (अधिकतम सुरक्षित चाल)

कार ज़्यादा तेज़ हो तो बाहर फिसलना चाहती है, इसलिए घर्षण f ढलान पर नीचे, अंदर की ओर लगता है। सीमा पर f = μ_s N:

ऊर्ध्वाधर: N cos θ = mg + f sin θ. केंद्र की ओर: N sin θ + f cos θ = m v²/r.

इससे v² = r g (sin θ + μ_s cos θ)/(cos θ − μ_s sin θ), यानी

v_max = √[ r g (μ_s + tan θ)/(1 − μ_s tan θ) ]

कार बहुत धीमी हो तो नीचे फिसलना चाहती है, घर्षण ढलान पर ऊपर लगता है, और v_min = √[ r g (tan θ − μ_s)/(1 + μ_s tan θ) ].

θ = 0 रखो तो समतल सड़क वाला v_max = √(μ_s r g) मिलता है। μ_s = 0 रखो तो v₀.

साइकिल सवार का झुकना

मोड़ पर साइकिल सवार θ कोण से अंदर झुकता है जहाँ tan θ = v²/(r g), वही संबंध, ताकि ज़मीन का बल गुरुत्व केंद्र से गुज़रे।

घर पर करके देखो

बाल्टी घुमाओ: छोटी बाल्टी में आधा पानी भरकर उसे तेज़ी से ऊर्ध्वाधर वृत्त में घुमाओ। पानी नहीं गिरता, क्योंकि बाल्टी का धक्का अभिकेंद्र बल देता है। बाहर करना!

घूमती थाली पर सिक्का: घूमने वाली ट्रे के किनारे पास सिक्का रखो और उसे तेज़ घुमाओ। जब घर्षण mv²/r नहीं दे पाता, सिक्का फिसल जाता है। केंद्र के पास का सिक्का ज़्यादा देर टिकता है।

3D में: आख़िरी चरण में μ = 0 रखो और वह एक चाल खोजो जिस पर कार नहीं फिसलती (वह v₀ है)।

मुख्य सूत्र और परिभाषाएँ

a_c = v²/r = ω²r
F_c = m v²/r = m ω² r
समतल सड़क: v_max = √(μs r g)
ढालू, घर्षण रहित: tanθ = v₀²/(r g)
ढालू, घर्षण सहित: v_max = √[r g (μs + tanθ)/(1 − μs tanθ)]
v_min = √[r g (tanθ − μs)/(1 + μs tanθ)]

हल किए गए उदाहरण

1. 0.5 kg का पत्थर 1 m त्रिज्या के वृत्त में 2 m/s से घूमता है। डोरी का तनाव (गुरुत्व छोड़ दो)?

T = mv²/r = 0.5 × 4/1 = 2 N.

2. वही पत्थर 4 m/s से घुमाया जाए तो नया तनाव?

T = 0.5 × 16/1 = 8 N. v दोगुना तो बल 4 गुना।

3. 1000 kg की कार 50 m त्रिज्या के समतल मोड़ पर 10 m/s से मुड़ती है। आवश्यक घर्षण?

f = mv²/r = 1000 × 100/50 = 2000 N, केंद्र की ओर।

4. 50 m त्रिज्या के समतल मोड़ पर μs = 0.5 हो तो अधिकतम सुरक्षित चाल (g = 10)?

vmax = √(0.5 × 50 × 10) = √250 ≈ 15.8 m/s ≈ 57 km/h.

5. 50 m त्रिज्या का मोड़ 15° पर ढालू है। किस चाल पर घर्षण की ज़रूरत नहीं (tan 15° = 0.268, g = 10)?

v₀ = √(50 × 10 × 0.268) = √134 ≈ 11.6 m/s.

6. 90 m त्रिज्या के मोड़ को 15 m/s चाल के लिए किस कोण पर ढालू करें? (g = 10)

tanθ = 225/900 = 0.25 → θ ≈ 14°.

7. 15° ढाल और 50 m त्रिज्या वाले मोड़ पर μs = 0.3. अधिकतम सुरक्षित चाल?

vmax² = 500 × (0.3 + 0.268)/(1 − 0.0804) = 500 × 0.618 = 309. vmax ≈ 17.6 m/s. μs = 0.3 वाली समतल सड़क पर सिर्फ़ √150 ≈ 12.2 m/s.

आम गलतियाँ

मुक्त-पिंड आरेख में असली बलों के अलावा एक अलग "अभिकेंद्र बल" बना देना। यह केंद्र की ओर असली बलों का नेट है।
यह सोचना कि कोई बाहरी बल कार को सड़क से बाहर धकेलता है। ज़मीन के तंत्र में कार इसलिए बाहर फिसलती है क्योंकि अंदर का बल कम पड़ता है (जड़त्व)।
बिना फिसले मुड़ती कार के लिए गतिज घर्षण μk लेना। टायर बगल में नहीं फिसल रहे, इसलिए स्थैतिक घर्षण।
समतल और ढालू सड़क के सूत्र मिला देना, या रेडियन मोड वाले कैलकुलेटर में डिग्री डालना।

अभ्यास क्विज़

अभ्यास: खुद जवाब दो

अपना जवाब लिखो या चुनो, फिर जाँचें दबाओ। अटको तो संकेत देखो; जवाब देने के बाद पूरा हल दिखेगा।

पोलैंड	Liceum ogólnokształcące, klasa I	Mechanics
रोमानिया	Clasa a IX-a	Newton's principles of mechanics and their applications
रोमानिया	Clasa a IX-a	Newton's principles of mechanics and their applications
सीबीएसई (भारत)	कक्षा 11	गति के नियम
इंग्लैंड	Year 12	Optional application 1 Mechanics (part 1)
अमेरिका	Grade 11	Force and Translational Dynamics
अमेरिका	Grade 12	Force and Translational Dynamics
जर्मनी	Jahrgangsstufe 11	Circular motion
रूस	9 класс	Mechanical phenomena
रूस	10 класс	Mechanics: kinematics
चीन	高一	Compulsory 2 Ch.6 Circular motion

अभिकेंद्र बल, समतल सड़क और ढालू सड़क पर कार

🎬 कदम-दर-कदम कहानी

🤔 आम शंकाएँ और उनके जवाब

पत्थर बाहर की बजाय स्पर्शरेखा पर क्यों उड़ता है?

दोगुनी चाल पर चार गुना बल क्यों?

क्या कोई बाहरी (अपकेंद्री) बल कार को बाहर धकेलता है?

बिना घर्षण ढालू सड़क कार को कैसे मोड़ती है?

ढालू सड़क पर कार v₀ से धीमी चले तो क्या होगा?

घर्षण वाली ढालू सड़क पर कार ज़्यादा तेज़ क्यों चल सकती है?