वृत्तीय गति: आवर्तकाल, चाल और त्वरण

वृत्तीय गति क्या है?

जब कोई वस्तु वृत्त के रास्ते पर चलती है, तो उसकी गति वृत्तीय गति कहलाती है। सीधी रेखा में गति आसान है: दिशा एक ही रहती है। वृत्त में दिशा हर पल बदलती है।

अगर वस्तु बराबर समय में बराबर चाप तय करे, तो यह एकसमान वृत्तीय गति है। इसमें चाल (कितनी तेज़) स्थिर रहती है। पर वेग (चाल और दिशा) स्थिर नहीं रहता, क्योंकि दिशा बदलती रहती है।

रोज़ के उदाहरण: पंखे का पंख, साइकिल का पहिया, बड़ा झूला, पृथ्वी के चारों ओर चंद्रमा (लगभग वृत्त)।

आवर्तकाल, आवृत्ति और मात्रक

आवर्तकाल (T) एक पूरे चक्कर का समय है। मात्रक: सेकंड (s)।

आवृत्ति (f) एक सेकंड में चक्करों की संख्या है। मात्रक: हर्ट्ज़ (Hz), और 1 Hz = 1 चक्कर प्रति सेकंड।

दोनों जुड़े हैं: f = 1 / T। अगर एक चक्कर 0.5 s का है, तो f = 2 Hz।

मशीनों में अक्सर rpm (चक्कर प्रति मिनट) चलता है। rpm को Hz में बदलने के लिए 60 से भाग दीजिए। यानी 120 rpm = 2 Hz।

कोण रेडियन में: पूरा वृत्त 2π रेडियन (लगभग 6.28 rad) होता है। एक रेडियन वह कोण है जिसका चाप त्रिज्या के बराबर लंबा हो।

चाल, कोणीय चाल और v = ωr

एक आवर्तकाल में वस्तु पूरी परिधि 2πr तय करती है। इसलिए रेखीय चाल है

v = 2πr / T

कोणीय चाल ω बताती है कि कोण कितनी तेज़ी से बढ़ता है: ω = 2π / T = 2πf। मात्रक: रेडियन प्रति सेकंड (rad/s)।

दोनों को जोड़ें: v = ω × r। घूमते पहिये के हर हिस्से का ω बराबर होता है, पर केंद्र से दूर वाले हिस्सों का v ज़्यादा होता है।

वेग का तीर हमेशा स्पर्श रेखा (tangent) की दिशा में होता है, यानी वह रेखा जो गेंद की जगह पर वृत्त को बस छूती है।

केंद्र की ओर त्वरण

त्वरण का मतलब है वेग में बदलाव। वृत्तीय गति में चाल स्थिर है पर दिशा बदलती है, इसलिए वेग बदलता है। यानी त्वरण होता है।

यह केंद्र की ओर होता है और अभिकेंद्र त्वरण (centripetal acceleration) कहलाता है:

a = v² / r = ω² r

उसी चाल पर तंग मोड़ (छोटा r) में ज़्यादा त्वरण चाहिए। केंद्र की ओर धक्का या खिंचाव कोई तो देता है: डोरी, सड़क का घर्षण या गुरुत्वाकर्षण। उस बल की बात अगले पाठ में है।

करके देखिए: अपना वृत्त नापिए

एक छोटी नरम गेंद को लगभग 1 m लंबी डोरी से बाँधिए। डोरी का सिरा पकड़कर गेंद को हल्के से समतल वृत्त में घुमाइए (बाहर, लोगों से दूर करें)। दोस्त से कहिए कि 10 चक्कर गिने और फ़ोन से समय नापे। तब T = कुल समय ÷ 10 और v = 2πr / T। अब तेज़ घुमाइए और देखिए कि T छोटा और v बड़ा हो जाता है।

मुख्य सूत्र और परिभाषाएँ

• f = 1 / T (Hz) और T = 1 / f (s)
• v = 2πr / T
• ω = 2π / T = 2πf (rad/s)
• v = ω r
• a = v² / r = ω² r (केंद्र की ओर)

हल किए गए उदाहरण

आम गलतियाँ

• 'चाल स्थिर है तो त्वरण नहीं' कहना। दिशा बदलती है, इसलिए वेग बदलता है और a = v²/r शून्य नहीं है।
• वेग का तीर केंद्र की ओर बनाना। वेग स्पर्श रेखा पर होता है; केवल त्वरण केंद्र की ओर होता है।
• rpm को बिना बदले सूत्र में लगाना। पहले Hz (60 से भाग) या rad/s (2π/60 से गुणा) में बदलिए।
• T और f को गड़बड़ाना। T सेकंड प्रति चक्कर है; f चक्कर प्रति सेकंड है; f = 1/T।