समतल में एकसमान वेग और एकसमान त्वरण
समतल में स्थिति r = x î + y ĵ। वेग v = dr/dt = vx î + vy ĵ, और त्वरण a = dv/dt।
एकसमान वेग: v स्थिर → r = r₀ + vt, सीधा पथ।
एकसमान त्वरण: v = v₀ + at और r = r₀ + v₀t + ½at²। असल में ये दो सरल रेखा वाले सवाल हैं: x = x₀ + v₀ₓt + ½aₓt² और y = y₀ + v₀ᵧt + ½aᵧt²। x और y की गतियाँ स्वतंत्र हैं।
हर बिंदु पर v की दिशा पथ की स्पर्श रेखा पर होती है।
प्रक्षेप्य गति
प्रक्षेप्य वह वस्तु है जो हवा में फेंकी जाए और फिर सिर्फ गुरुत्व के असर में चले (वायु प्रतिरोध नगण्य)। चाल u, क्षैतिज से कोण θ:
- क्षैतिज: ux = u cos θ स्थिर (कोई क्षैतिज बल नहीं); x = (u cos θ)t।
- ऊर्ध्वाधर: a = −g; vy = u sin θ − gt; y = (u sin θ)t − ½gt²।
पथ का समीकरण
t = x/(u cos θ) → y = x tan θ − g x²/(2u² cos²θ), यानी y = bx − cx², एक परवलय।
शीर्ष तक समय, उड़ान का समय, ऊँचाई और परास
शीर्ष पर vy = 0 → tₘ = u sin θ/g। उड़ान का समय T = 2u sin θ/g। अधिकतम ऊँचाई H = u² sin²θ/2g। क्षैतिज परास R = u² sin 2θ/g, θ = 45° पर सबसे अधिक (Rₘₐₓ = u²/g)। θ और 90° − θ पर परास बराबर।
ऊँचाई h से क्षैतिज फेंकना
uy = 0, इसलिए t = √(2h/g) और परास = u√(2h/g)।
एकसमान वृत्तीय गति
वृत्त पर स्थिर चाल से घूमती वस्तु एकसमान वृत्तीय गति में है। उसके वेग की दिशा बदलती रहती है, इसलिए उसमें त्वरण है।
कोणीय चाल ω = Δθ/Δt (rad/s); v = ωr; आवर्तकाल T = 2πr/v = 2π/ω; आवृत्ति ν = 1/T, इसलिए ω = 2πν।
अभिकेंद्र त्वरण
छोटे समय Δt में वेग सदिश Δθ कोण घूमता है। बदलाव |Δv| ≈ vΔθ, और यह केंद्र की ओर होता है। तो a = |Δv|/Δt = vω = v²/r = ω²r, हमेशा केंद्र की ओर। इसका परिमाण स्थिर है, पर दिशा घूमती है, इसलिए यह स्थिर सदिश नहीं है।
मुख्य सूत्र और परिभाषाएँ
- v = v₀ + at, r = r₀ + v₀t + ½at²
- y = x tan θ − gx²/(2u²cos²θ)
- T = 2u sin θ/g, H = u² sin²θ/2g
- R = u² sin 2θ/g, 45° पर Rₘₐₓ = u²/g
- क्षैतिज प्रक्षेप्य: t = √(2h/g), x = u√(2h/g)
- v = ωr, a = v²/r = ω²r, ω = 2πν = 2π/T
हल किए गए उदाहरण
1. एक कण मूल से v₀ = 4î m/s और a = 2ĵ m/s² से चलता है। t = 3 s पर स्थिति और वेग निकालो।
चरण 1: x = 4 × 3 = 12 m (x में त्वरण नहीं)। चरण 2: y = ½ × 2 × 9 = 9 m। चरण 3: v = 4î + 6ĵ m/s, चाल = √52 ≈ 7.2 m/s।
2. गेंद 20 m/s से ज़मीन से 30° पर फेंकी गई (g = 10 m/s²)। उड़ान का समय निकालो।
चरण 1: uy = 20 sin 30° = 10 m/s। चरण 2: T = 2uy/g = 2 s।
3. उसी थ्रो (20 m/s, 30°) की अधिकतम ऊँचाई और परास निकालो।
चरण 1: H = uy²/2g = 100/20 = 5 m। चरण 2: ux = 20 cos 30° ≈ 17.32 m/s। चरण 3: R = ux × T ≈ 34.6 m।
4. 30 m/s से फेंकी गेंद समतल ज़मीन पर अधिकतम कितनी दूर जा सकती है (g = 10 m/s²)?
चरण 1: 45° पर परास अधिकतम। चरण 2: Rₘₐₓ = u²/g = 900/10 = 90 m।
5. 20 m ऊँची छत से पत्थर 15 m/s से क्षैतिज फेंका (g = 10 m/s²)। कब और कहाँ गिरेगा?
चरण 1: uy = 0 → 20 = 5t² → t = 2 s। चरण 2: x = 15 × 2 = 30 m। चरण 3: गिरते समय vy = 20 m/s, चाल = √(225 + 400) = 25 m/s।
6. दिखाओ कि एक ही चाल से 25° और 65° पर फेंकने से परास बराबर होती है।
चरण 1: R ∝ sin 2θ। चरण 2: sin 50° = sin 130°, क्योंकि sin(180° − x) = sin x। चरण 3: इसलिए R(25°) = R(65°); 65° वाला ज़्यादा ऊँचा और ज़्यादा देर हवा में रहता है।
7. 0.5 m डोरी से बँधा पत्थर हर सेकंड 2 चक्कर लगाता है। चाल और अभिकेंद्र त्वरण निकालो।
चरण 1: ω = 2πν = 4π ≈ 12.57 rad/s। चरण 2: v = ωr ≈ 6.28 m/s। चरण 3: a = ω²r ≈ 79 m/s², केंद्र की ओर।
8. कार 50 m त्रिज्या के मोड़ पर 36 km/h से मुड़ती है। अभिकेंद्र त्वरण निकालो।
चरण 1: 36 km/h = 10 m/s। चरण 2: a = v²/r = 100/50 = 2 m/s²। चरण 3: दिशा: मोड़ के केंद्र की ओर।
आम गलतियाँ
- क्षैतिज गति में g लगा देना। वायु प्रतिरोध न हो तो क्षैतिज त्वरण शून्य है।
- शीर्ष पर वेग शून्य मान लेना। सिर्फ vy शून्य है; ux बना रहता है।
- चाल स्थिर है तो वृत्तीय गति में त्वरण नहीं, ऐसा सोचना। दिशा बदलती है, इसलिए a = v²/r।
- ω को डिग्री में लेना। v = ωr से पहले कोणीय चाल rad/s में होनी चाहिए।