अदिश और सदिश राशियाँ
अदिश राशि सिर्फ संख्या और मात्रक से पूरी हो जाती है: द्रव्यमान, समय, ताप, चाल, कार्य। सदिश को परिमाण और दिशा दोनों चाहिए और वह त्रिभुज नियम से जुड़ता है: विस्थापन, वेग, त्वरण, बल।
सदिश को मोटे अक्षर या तीर से लिखते हैं: A या A⃗; परिमाण |A| या A। दिशा होने से ही कोई राशि सदिश नहीं बनती: विद्युत धारा की दिशा है, पर वह अदिश की तरह जुड़ती है।
स्थिति सदिश और विस्थापन सदिश
बिंदु P का स्थिति सदिश r, मूल O से P तक का तीर है: r = x î + y ĵ।
वस्तु P (r₁) से Q (r₂) तक जाए तो विस्थापन सदिश Δr = r₂ − r₁। यह सिर्फ शुरू और आखिरी बिंदु पर निर्भर है, रास्ते पर नहीं।
बराबर सदिश
दो सदिश बराबर हैं अगर उनका परिमाण भी एक और दिशा भी एक। सदिश को बिना घुमाए कहीं भी खिसकाओ, वह वही सदिश रहता है। बराबर परिमाण पर उल्टी दिशा वाले सदिश एक-दूसरे के ऋणात्मक हैं।
सदिश को संख्या से गुणा करना
λA की लंबाई A की λ गुना होती है। λ > 0 हो तो दिशा वही; λ < 0 हो तो उल्टी; λ = 0 हो तो शून्य सदिश। मात्रक वाली राशि से गुणा करने पर भौतिक अर्थ बदल जाता है: वेग × समय = विस्थापन।
सदिशों का योग और घटाव
त्रिभुज नियम
B की पूँछ A के सिर पर रखो। A की पूँछ से B के सिर तक का तीर A + B है।
समांतर चतुर्भुज नियम
A और B को एक ही बिंदु से खींचो और समांतर चतुर्भुज पूरा करो। उस बिंदु से जाने वाला विकर्ण परिणामी R है: R² = A² + B² + 2AB cos θ, tan α = B sin θ/(A + B cos θ)।
योग क्रमविनिमेय (A + B = B + A) और साहचर्य है। घटाव: A − B = A + (−B), और |A − B|² = A² + B² − 2AB cos θ।
इकाई सदिश
इकाई सदिश का परिमाण 1 होता है, वह सिर्फ दिशा बताता है: Â = A/|A|। î, ĵ, k̂ क्रमशः x, y, z अक्ष की दिशा में हैं। इसलिए A = |A| Â।
सदिश का आयताकार घटकों में वियोजन
A अगर x-अक्ष से θ कोण बनाए: Ax = A cos θ, Ay = A sin θ, और A = Ax î + Ay ĵ। उल्टा: A = √(Ax² + Ay²), tan θ = Ay/Ax।
घटकों से जोड़ना आसान है: x वाले हिस्से जोड़ो, y वाले जोड़ो। R = (Ax + Bx) î + (Ay + By) ĵ।
अदिश और सदिश गुणनफल
अदिश (डॉट) गुणनफल
A·B = AB cos θ = AxBx + AyBy + AzBz। यह एक अदिश है। î·î = 1, î·ĵ = 0। उदाहरण: कार्य W = F·s।
सदिश (क्रॉस) गुणनफल
|A×B| = AB sin θ, यानी A और B से बने समांतर चतुर्भुज का क्षेत्रफल। दिशा दोनों के लंबवत, दाएँ हाथ के नियम से। î×ĵ = k̂, ĵ×k̂ = î, k̂×î = ĵ, और B×A = −A×B। उदाहरण: बल-आघूर्ण τ = r×F।
मुख्य सूत्र और परिभाषाएँ
- R = √(A² + B² + 2AB cos θ), tan α = B sin θ/(A + B cos θ)
- Ax = A cos θ, Ay = A sin θ, A = √(Ax² + Ay²)
- Â = A/|A|
- Δr = r₂ − r₁
- A·B = AB cos θ = AxBx + AyBy + AzBz
- |A×B| = AB sin θ; î×ĵ = k̂
हल किए गए उदाहरण
1. 3 N और 4 N के दो बल समकोण पर लगे हैं। परिणामी निकालो।
चरण 1: θ = 90°, cos 90° = 0। चरण 2: R = √(9 + 16) = 5 N। चरण 3: tan α = 4/3 → α ≈ 53°, 3 N बल से।
2. कण P(1, 2) m से Q(4, 6) m तक जाता है। विस्थापन सदिश और उसका परिमाण निकालो।
चरण 1: Δr = 3î + 4ĵ m। चरण 2: |Δr| = √(9 + 16) = 5 m।
3. 20 m/s का वेग x-अक्ष से 30° पर है। घटक निकालो।
चरण 1: vx = 20 cos 30° = 17.3 m/s। चरण 2: vy = 20 sin 30° = 10 m/s। चरण 3: v = 17.3 î + 10 ĵ m/s।
4. A = 6î − 8ĵ की दिशा में इकाई सदिश निकालो।
चरण 1: |A| = √(36 + 64) = 10। चरण 2: Â = 0.6î − 0.8ĵ। चरण 3: जाँच: 0.36 + 0.64 = 1 ✓।
5. 5-5 परिमाण के दो सदिश आपस में 60° बनाते हैं। |A + B| और |A − B| निकालो।
चरण 1: |A + B|² = 25 + 25 + 50 cos 60° = 75 → ≈ 8.66। चरण 2: |A − B|² = 50 − 25 = 25 → 5।
6. A = 2î + 3ĵ और B = 4î − ĵ। A·B और दोनों के बीच का कोण निकालो।
चरण 1: A·B = 8 − 3 = 5। चरण 2: |A| = √13 ≈ 3.61, |B| = √17 ≈ 4.12। चरण 3: cos θ = 5/14.87 ≈ 0.336 → θ ≈ 70.4°।
7. इन्हीं A = 2î + 3ĵ, B = 4î − ĵ के लिए A×B और समांतर चतुर्भुज का क्षेत्रफल निकालो।
चरण 1: A×B = (AxBy − AyBx) k̂ = (−2 − 12) k̂ = −14 k̂। चरण 2: क्षेत्रफल = 14 वर्ग इकाई। चरण 3: ऋण चिह्न = दिशा समतल के अंदर।
8. बल F = 3î + 4ĵ N एक डिब्बे को s = 5î m खिसकाता है। किया गया कार्य निकालो।
चरण 1: W = F·s = 3·5 + 4·0। चरण 2: W = 15 J। गति की दिशा वाला हिस्सा ही कार्य करता है।
आम गलतियाँ
- परिमाण सीधे जोड़ देना: समकोण पर 3 N + 4 N = 5 N, 7 N नहीं।
- θ x-अक्ष से हो तब भी x-घटक में sin लगाना। Ax = A cos θ।
- A×B = B×A मान लेना। क्रम बदलने से दिशा उल्टी हो जाती है।
- अदिश गुणनफल को सदिश लिखना। A·B सिर्फ एक संख्या है।