South 고등학교 2학년 Mathematics for Artificial Intelligence
अध्याय: 5
1. AI and big data
What AI is and how it learns · History of maths in AI · Big data and AI
- कृत्रिम बुद्धिमत्ता (AI): मशीनें सोचना कैसे सीखती हैं – कृत्रिम बुद्धिमत्ता (Artificial Intelligence, AI) कंप्यूटर प्रणाली की वह क्षमता है जिससे वह ऐसे काम करती है जिनमें आम तौर पर इंसानी दिमाग़ लगता है: देखना, बोली समझना, फ़ैसला करना और सीखना। AI प्रणाली एक एजेंट है जो महसूस करती है, सोचती है और काम करती है। पुरानी AI इंसानों के लिखे नियमों पर चलती थी। आज की AI ज़्यादातर मशीन लर्निंग से चलती है: वह ढेर सारे लेबल वाले उदाहरणों (डेटा) से ख़ुद नियम ढूँढती है। न्यूरल नेटवर्क सरल इकाइयों की परतें हैं जिनकी कड़ियों की ताकत (भार) प्रशिक्षण में बदलती है। AI नक्शों, अनुवाद, स्वास्थ्य, खेती और खेलों में काम आती है। एकतरफ़ा डेटा से यह ग़लत या पक्षपाती हो सकती है, इसलिए इंसान को इसे जाँचना, निजता बचाना और ज़िम्मेदार रहना चाहिए।
- बिग डेटा (Big Data) – बिग डेटा वह डेटा है जो एक साधारण कंप्यूटर और साधारण सॉफ़्टवेयर के लिए बहुत बड़ा, बहुत तेज़ या बहुत मिला-जुला हो। इसे तीन V से समझते हैं: मात्रा (Volume), वेग (Velocity) और विविधता (Variety)। इसे संभालने के लिए काम कई मशीनों में एक साथ बाँटा जाता है (वितरित प्रोसेसिंग, जैसे MapReduce)। बिग डेटा को अक्सर तथ्यों (facts) या ग्राफ (नोड और लिंक) के रूप में रखा जाता है। मौसम, नक्शे, स्वास्थ्य, खरीदारी और AI में इसका उपयोग होता है, पर निजता और निष्पक्षता के सवाल भी उठते हैं।
2. Text data
Representing text with sets and vectors · Frequency vectors and similarity · How AI analyses text
- समतल में गति के लिए अदिश और सदिश (कक्षा 11) – अदिश में सिर्फ परिमाण होता है; सदिश में परिमाण और दिशा दोनों। परिमाण और दिशा समान हों तो सदिश बराबर। किसी संख्या से गुणा करने पर लंबाई बदलती है (ऋणात्मक संख्या दिशा उल्टी कर देती है)। सदिश पूँछ-से-सिर जुड़ते हैं; A − B = A + (−B)। समतल का हर सदिश A = Ax î + Ay ĵ, जहाँ Ax = A cos θ, Ay = A sin θ। A·B = AB cos θ एक अदिश है; A×B का परिमाण AB sin θ और दिशा दोनों के लंबवत।
- मशीन लर्निंग (Machine Learning) – मशीन लर्निंग (ML) में कंप्यूटर को नियम बताया नहीं जाता; वह उदाहरणों से नियम ख़ुद सीखता है. हम डेटा देते हैं: फ़ीचर (इनपुट) और, सुपरवाइज़्ड लर्निंग में, लेबल (उत्तर). मशीन एक मॉडल बनाती है: रिग्रेशन संख्या का अनुमान लगाता है, डिसीज़न ट्री हाँ/नहीं प्रश्नों से वर्ग चुनता है, और k-means बिना लेबल वाले डेटा को समूहों में बाँटता है. ज़्यादातर डेटा पर सिखाते हैं, अनदेखे डेटा पर परखते हैं और सटीकता नापते हैं. सिर्फ़ रटने वाला मॉडल (ओवरफ़िटिंग) नए डेटा पर फेल होता है.
3. Image data
Images as matrices · Transforming images with matrix operations · How AI classifies images
- आव्यूह (Matrices): कोटि, प्रकार, परिवर्त, संक्रियाएँ और व्युत्क्रम – आव्यूह संख्याओं का एक डिब्बा है जिसमें संख्याएँ पंक्तियों और स्तंभों में रखी होती हैं। इसकी कोटि = पंक्तियाँ × स्तंभ। शून्य, तत्समक, विकर्ण, अदिश, पंक्ति, स्तंभ और वर्ग आव्यूह इसके खास प्रकार हैं। परिवर्त में पंक्तियाँ स्तंभ बन जाती हैं। Aᵀ = A हो तो सममित, Aᵀ = −A हो तो विषम-सममित। योग जगह-जगह करते हैं, गुणन पंक्ति × स्तंभ से। आव्यूह गुणन क्रमविनिमेय नहीं है (AB प्रायः BA नहीं)। यदि AB = BA = I हो तो B, A का व्युत्क्रम है और वह एक ही (अद्वितीय) होता है।
- मशीन लर्निंग (Machine Learning) – मशीन लर्निंग (ML) में कंप्यूटर को नियम बताया नहीं जाता; वह उदाहरणों से नियम ख़ुद सीखता है. हम डेटा देते हैं: फ़ीचर (इनपुट) और, सुपरवाइज़्ड लर्निंग में, लेबल (उत्तर). मशीन एक मॉडल बनाती है: रिग्रेशन संख्या का अनुमान लगाता है, डिसीज़न ट्री हाँ/नहीं प्रश्नों से वर्ग चुनता है, और k-means बिना लेबल वाले डेटा को समूहों में बाँटता है. ज़्यादातर डेटा पर सिखाते हैं, अनदेखे डेटा पर परखते हैं और सटीकता नापते हैं. सिर्फ़ रटने वाला मॉडल (ओवरफ़िटिंग) नए डेटा पर फेल होता है.
4. Prediction and optimisation
Probability-based prediction · Trend lines with technology · Loss functions and best-fit lines · Gradient descent
- प्रायिकता: एक घटना की संभावना – प्रायिकता बताती है कि कोई बात होने की कितनी संभावना है, 0 से 1 तक की एक संख्या में। जब सारे परिणाम समप्रायिक हों, तब P(घटना) = अनुकूल परिणामों की संख्या ÷ कुल परिणामों की संख्या। असंभव घटना की प्रायिकता 0 और निश्चित घटना की 1 होती है।
- रैखिक समाश्रयण और न्यूनतम वर्ग रेखा – रैखिक समाश्रयण जोड़े वाले आँकड़ों (x, y) के लिए सबसे अच्छी सीधी रेखा ŷ = a + bx ढूँढता है। किसी असली बिंदु और रेखा के बीच का अंतर अवशिष्ट (residual) है: e = y − ŷ। न्यूनतम वर्ग रेखा वह है जिसमें अवशिष्टों के वर्गों का योग सबसे कम हो। ढाल b = Sxy ÷ Sxx और रेखा हमेशा माध्य बिंदु (x̄, ȳ) से गुज़रती है। इससे x से y का अनुमान लगाते हैं, पर सिर्फ़ आँकड़ों की सीमा के अंदर। मज़बूत संबंध का मतलब यह नहीं कि x ही y का कारण है।
- ग्रेडिएंट डिसेंट: सबसे नीचे का बिंदु ढूँढना – ग्रेडिएंट डिसेंट (gradient descent) छोटे-छोटे कदम नीचे की ओर चलकर किसी फलन का न्यूनतम मान ढूँढता है। हर कदम पर: नया x = पुराना x − सीखने की दर × ढलान। दर बहुत बड़ी हो तो गेंद आगे निकल जाती है, बहुत छोटी हो तो बहुत धीरे चलती है। मशीन लर्निंग इसी से अपनी गलती घटाती है।
5. AI and mathematical inquiry
Maths behind real AI services · AI maths project
- कृत्रिम बुद्धिमत्ता (AI): मशीनें सोचना कैसे सीखती हैं – कृत्रिम बुद्धिमत्ता (Artificial Intelligence, AI) कंप्यूटर प्रणाली की वह क्षमता है जिससे वह ऐसे काम करती है जिनमें आम तौर पर इंसानी दिमाग़ लगता है: देखना, बोली समझना, फ़ैसला करना और सीखना। AI प्रणाली एक एजेंट है जो महसूस करती है, सोचती है और काम करती है। पुरानी AI इंसानों के लिखे नियमों पर चलती थी। आज की AI ज़्यादातर मशीन लर्निंग से चलती है: वह ढेर सारे लेबल वाले उदाहरणों (डेटा) से ख़ुद नियम ढूँढती है। न्यूरल नेटवर्क सरल इकाइयों की परतें हैं जिनकी कड़ियों की ताकत (भार) प्रशिक्षण में बदलती है। AI नक्शों, अनुवाद, स्वास्थ्य, खेती और खेलों में काम आती है। एकतरफ़ा डेटा से यह ग़लत या पक्षपाती हो सकती है, इसलिए इंसान को इसे जाँचना, निजता बचाना और ज़िम्मेदार रहना चाहिए।
- गणितीय अन्वेषण: अपना गणित प्रश्न पूछना और हल करना – गणितीय अन्वेषण एक छोटा शोध प्रोजेक्ट है जिसमें तुम खुद गणित का प्रश्न पूछते हो और सबूत व तर्क से उसका उत्तर खोजते हो। यह एक चक्र है: साफ़ प्रश्न चुनो, दूसरों ने क्या पाया वह पढ़ो (साहित्य अध्ययन), तरीका तय करो (प्रयोग, केस स्टडी या विकास शोध), काम करके आँकड़े लिखो, गणित से विश्लेषण करो, फिर चिंतन और रिपोर्ट करो। AI उपकरण आँकड़ों और जाँच में मदद कर सकते हैं, पर सोच, ईमानदारी और स्रोत तुम्हारे होने चाहिए।