संगामी बल और साम्य का मतलब
संगामी बल वे बल हैं जिनकी कार्य-रेखाएँ एक ही बिंदु पर मिलती हैं। तीन रस्सियों वाली गाँठ अच्छा उदाहरण है: हर रस्सी उसी गाँठ को खींचती है।
बल एक धक्का या खिंचाव है। हम उसे तीर से दिखाते हैं: तीर की लंबाई बल का परिमाण और तीर का सिरा दिशा बताता है।
जब वस्तु पर लगे बल एक-दूसरे को काट दें और कुछ न बचे, तब वस्तु साम्यावस्था (equilibrium) में है। तब वस्तु या तो स्थिर रहती है (स्थैतिक साम्य) या सीधी रेखा में एक समान चाल से चलती रहती है (सीधी सड़क पर एक समान चाल वाली कार, धीरे-धीरे ऊपर जाती लिफ़्ट)। दोनों में त्वरण शून्य है, क्योंकि कुल बल शून्य है (न्यूटन का पहला नियम)।
साम्य की शर्त: ΣF = 0
सब बल-सदिशों को जोड़ो। योग को परिणामी (कुल) बल कहते हैं। साम्य के लिए:
ΣF = 0
तीर अलग-अलग दिशाओं में होते हैं, इसलिए हर तिरछे बल को दो भागों में बाँटते हैं: एक x-दिशा (बाएँ-दाएँ) में और एक y-दिशा (ऊपर-नीचे) में। इसे बल का वियोजन (resolving) कहते हैं। तब नियम दो आसान नियम बन जाता है:
- ΣFx = 0: दाएँ वाले बल = बाएँ वाले बल।
- ΣFy = 0: ऊपर वाले बल = नीचे वाले बल।
क्षैतिज से कोण θ पर लगे बल F के लिए: Fx = F cos θ और Fy = F sin θ।
दो बल साम्य में हों तो बराबर और उलटे होने चाहिए। तीन बल साम्य में हों तो सिरे से सिरा जोड़ने पर बंद त्रिभुज बनता है। उनमें से कोई भी बल बाकी दो के योग के बराबर और उलटा होता है।
साम्य का प्रश्न हल करने के चरण
- वस्तु को एक बिंदु मानकर बनाओ। उस पर लगे सब बल लिखो: भार, रस्सियाँ, धक्का, अभिलंब बल, घर्षण।
- x और y अक्ष चुनो। ऐसे चुनो कि ज़्यादातर बल किसी अक्ष पर पड़ें (ढलान पर एक अक्ष ढलान के साथ लो)।
- तिरछे बलों को घटकों में बाँटो।
- ΣFx = 0 और ΣFy = 0 लिखो।
- अज्ञात राशियाँ हल करो और जाँचो कि उत्तर सही लगता है।
SI मात्रक लो: बल न्यूटन (N) में, भार W = mg, g ≈ 9.8 m/s² (आसान गणना के लिए हम 10 m/s² लेते हैं)।
अनुप्रयोग: दो रस्सियों से लटका भार
भार W एक गाँठ से लटका है, जिसे दो बराबर रस्सियाँ थामे हैं। हर रस्सी क्षैतिज से कोण θ बनाती है। बगल में: दोनों क्षैतिज खिंचाव कट जाते हैं। ऊपर-नीचे: 2T sin θ = W, इसलिए
T = W ÷ (2 sin θ)
θ = 90° (रस्सियाँ सीधी ऊपर) पर हर रस्सी W/2 उठाती है। θ घटने पर sin θ घटता है और T बढ़ता है। θ बहुत छोटा हो तो खिंचाव बहुत बड़ा हो जाता है और रस्सी टूट सकती है। बीच में भार हो तो रस्सी कभी बिल्कुल सीधी नहीं हो सकती, क्योंकि sin 0° = 0 के लिए अनंत खिंचाव चाहिए।
अनुप्रयोग: ढलान पर गुटका, स्लेज, बगल से धकेली गेंद
चिकनी ढलान पर गुटका (ढलान कोण α), ढलान के समांतर रस्सी से रुका हुआ। एक अक्ष ढलान के साथ लो। भार दो भागों में बँटता है: ढलान के साथ नीचे W sin α और ढलान के अंदर W cos α। इसलिए रस्सी का तनाव T = W sin α और अभिलंब बल N = W cos α।
कोण पर खींची गई स्लेज एक समान चाल से: कोण θ पर खिंचाव P दो भागों में बँटता है: P cos θ (आगे) और P sin θ (ऊपर)। आगे: P cos θ = घर्षण। ऊपर: N + P sin θ = W, यानी ज़मीन भार से कम धक्का देती है।
धागे पर लटकी गेंद, बगल से धकेली हुई: क्षैतिज बल F से धागा ऊर्ध्वाधर से कोण φ बनाता है: T cos φ = W और T sin φ = F, इसलिए F = W tan φ।
मुख्य सूत्र और परिभाषाएँ
- साम्य: ΣF = 0 (बलों का सदिश योग शून्य)
- ΣFx = 0 और ΣFy = 0
- घटक: Fx = F cos θ, Fy = F sin θ (θ x-अक्ष से)
- भार: W = m g (g ≈ 9.8 m/s²)
- दो बराबर रस्सियाँ क्षैतिज से θ पर: T = W / (2 sin θ)
- चिकनी ढलान, रस्सी ढलान के साथ: T = W sin α, N = W cos α
- बल का मात्रक: न्यूटन (N)
हल किए गए उदाहरण
1. 5 kg का बक्सा मेज़ पर रखा है। अभिलंब बल ज्ञात करो। (g = 10 m/s²)
भार W = mg = 5 × 10 = 50 N नीचे। स्थिर है, इसलिए ΣFy = 0, अतः अभिलंब बल N = 50 N ऊपर।
2. 12 N का लैंप दो बराबर रस्सियों से लटका है, हर रस्सी क्षैतिज से 60° पर। हर रस्सी का तनाव ज्ञात करो।
ऊपर-नीचे: 2T sin 60° = 12। T = 12 ÷ (2 × 0.866) = 6.93 N। (बगल वाले खिंचाव कट जाते हैं।)
3. वही 12 N का लैंप, पर अब हर रस्सी क्षैतिज से 30° पर है। T ज्ञात करो।
T = 12 ÷ (2 × sin 30°) = 12 ÷ (2 × 0.5) = 12 N। लैंप वही है, फिर भी चपटी रस्सी ज़्यादा खिंचती है।
4. 20 N का गुटका 30° की चिकनी ढलान पर ढलान के समांतर रस्सी से रुका है। रस्सी का तनाव और अभिलंब बल ज्ञात करो।
ढलान के साथ: T = W sin 30° = 20 × 0.5 = 10 N। ढलान के अंदर: N = W cos 30° = 20 × 0.866 = 17.3 N।
5. 200 N भार की स्लेज को ज़मीन से 30° ऊपर 50 N की रस्सी से एक समान चाल से खींचा जा रहा है। घर्षण और अभिलंब बल ज्ञात करो।
एक समान चाल यानी साम्य। आगे: घर्षण = 50 cos 30° = 43.3 N। ऊपर: N + 50 sin 30° = 200, इसलिए N = 200 − 25 = 175 N।
6. 30 N का भार एक गाँठ से लटका है। एक रस्सी छत तक क्षैतिज से 45° पर जाती है और दूसरी गाँठ को दीवार की ओर क्षैतिज खींचती है। दोनों तनाव ज्ञात करो।
ऊपर-नीचे: T1 sin 45° = 30, इसलिए T1 = 30 ÷ 0.707 = 42.4 N। बगल में: T2 = T1 cos 45° = 42.4 × 0.707 = 30 N।
7. 2 kg की गेंद धागे से लटकी है। क्षैतिज धक्का F उसे ऐसे रोकता है कि धागा ऊर्ध्वाधर से 30° बनाता है। F और धागे का तनाव ज्ञात करो। (g = 10 m/s²)
W = 20 N। T cos 30° = 20, इसलिए T = 20 ÷ 0.866 = 23.1 N। F = T sin 30° = 11.5 N (या F = W tan 30° = 20 × 0.577 = 11.5 N)।
आम गलतियाँ
- "कुल बल शून्य" का मतलब यह समझना कि वस्तु स्थिर ही होगी। वह सीधी रेखा में एक समान चाल से भी चल सकती है।
- बलों के परिमाण साधारण संख्याओं की तरह जोड़ देना। बल सदिश हैं; दिशा मायने रखती है, इसलिए घटक लो।
- यह भूल जाना कि रस्सियाँ लगभग चपटी हों तो तनाव भार से बहुत ज़्यादा होता है।
- जहाँ cos चाहिए वहाँ sin लगाना। देखो कि दिया हुआ कोण क्षैतिज से है या ऊर्ध्वाधर से।