कार्य क्या है? (नियत बल)
भौतिकी में कार्य तभी होता है जब बल से वस्तु खिसके और खिसकने का कुछ हिस्सा बल की दिशा में हो।
W = F · s = F s cos θ, θ = बल और विस्थापन के बीच का कोण।
- θ = 0°: W = Fs (सबसे ज़्यादा, धनात्मक)।
- θ = 90°: W = 0। जैसे समतल ज़मीन पर बैग उठाकर चलना: बल ऊपर, चलना सीधा।
- 90° से ज़्यादा: W ऋणात्मक। जैसे घर्षण, ब्रेक।
कार्य अदिश राशि है (इसकी दिशा नहीं होती)। मात्रक: जूल (J) = 1 N × 1 m। विमा: [ML²T⁻²]।
परिवर्ती बल द्वारा कार्य
अगर बल जगह के साथ बदले तो सीधा गुणा नहीं कर सकते। रास्ते को छोटे टुकड़ों Δx में बाँटो। हर टुकड़े में बल लगभग एक-सा है, तो छोटा कार्य = F(x) Δx।
सब जोड़ो: W = ∫ F(x) dx (x₁ से x₂ तक)। ग्राफ़ पर यह F–x वक्र के नीचे का क्षेत्रफल है। x-अक्ष के ऊपर का क्षेत्रफल धनात्मक, नीचे का ऋणात्मक।
उदाहरण: स्प्रिंग बल F = kx का ग्राफ़ त्रिभुज है, तो W = ½kx²।
गतिज ऊर्जा
गति के कारण वस्तु में जो ऊर्जा होती है, वह गतिज ऊर्जा है: K = ½mv²। यह अदिश है और कभी ऋणात्मक नहीं होती।
चाल दोगुनी → K चार गुना। संवेग p = mv से: K = p²/2m।
कार्य-ऊर्जा प्रमेय और उसकी उपपत्ति
कथन: किसी वस्तु पर कुल बल द्वारा किया गया कार्य उसकी गतिज ऊर्जा में बदलाव के बराबर है: W_कुल = K_f − K_i।
नियत बल के लिए उपपत्ति:
- गति के समीकरण से: v² − u² = 2as।
- दोनों ओर m/2 से गुणा: ½mv² − ½mu² = mas।
- ma = F (न्यूटन का दूसरा नियम), तो ½mv² − ½mu² = Fs = W।
परिवर्ती बल के लिए: F = m dv/dt = m v dv/dx, तो F dx = m v dv। समाकलन करो: ∫F dx = ½mv² − ½mu²।
ध्यान रहे: इसमें सभी बलों का कुल कार्य लेते हैं।
शक्ति
शक्ति = कार्य करने की दर।
- औसत शक्ति: P = W/t।
- तात्क्षणिक शक्ति: P = dW/dt = F · v = F v cos θ।
मात्रक: वॉट (W) = 1 J/s। 1 अश्वशक्ति (hp) = 746 W। 1 किलोवॉट-घंटा (kWh) = 3.6 × 10⁶ J, यह ऊर्जा का मात्रक है, शक्ति का नहीं।
घर पर करके देखो
स्कूल बैग को डोरी से 2 m खींचो: एक बार डोरी नीचे पकड़कर, एक बार ऊँची पकड़कर। किसमें आगे खींचना आसान लगा? फिर सीढ़ियाँ एक बार दौड़कर, एक बार धीरे चढ़ो। कार्य (भार × ऊँचाई) बराबर, पर दौड़ने में शक्ति ज़्यादा। समय नापो: P = mgh ÷ t।
परीक्षा कोना
CBSE में अक्सर पूछते हैं: θ के अलग-अलग मान के साथ कार्य की परिभाषा (1–2 अंक), कार्य-ऊर्जा प्रमेय की उपपत्ति (3 अंक), F–x ग्राफ़ के क्षेत्रफल वाले प्रश्न, P = F·v, और बराबर संवेग पर K का अनुपात। यह इकाई IV–VI के साथ 17 अंक की है।
मुख्य सूत्र और परिभाषाएँ
- W = F · s = F s cos θ
- W = ∫ F(x) dx = area under F–x graph
- K = ½mv² = p²/2m
- W_कुल = K_f − K_i
- P = W/t, P = F · v = F v cos θ
- 1 hp = 746 W, 1 kWh = 3.6 × 10⁶ J
हल किए गए उदाहरण
1. 5 N का बल एक डिब्बे को अपनी ही दिशा में 3 m खिसकाता है। कार्य बताओ।
चरण 1: θ = 0°, cos 0° = 1। चरण 2: W = F s = 5 × 3। उत्तर: 15 J।
2. एक बच्चा खिलौना गाड़ी को ज़मीन से 60° पर 20 N से 5 m खींचता है। कार्य?
चरण 1: W = F s cos θ। चरण 2: cos 60° = 0.5। चरण 3: W = 20 × 5 × 0.5 = 50 J।
3. 60 kg का धावक 5 m/s से दौड़ रहा है। गतिज ऊर्जा?
चरण 1: K = ½mv²। चरण 2: K = ½ × 60 × 25 = 750 J।
4. बल F = (3î + 4ĵ) N वस्तु को s = (2î + ĵ) m खिसकाता है। कार्य?
चरण 1: W = F · s = FₓSₓ + F_yS_y। चरण 2: W = 3 × 2 + 4 × 1 = 10 J।
5. बल F = 2x N (x मीटर में) x = 1 m से x = 3 m तक लगता है। कार्य?
चरण 1: W = ∫ 2x dx, 1 से 3 तक। चरण 2: = [x²] = 9 − 1। उत्तर: 8 J। (रेखा के नीचे समलंब का क्षेत्रफल: ½ × (2 + 6) × 2 = 8 J।)
6. 3 m/s से चलती 2 kg गेंद पर 8 N का कुल बल उसकी दिशा में 4 m तक लगता है। अंतिम चाल?
चरण 1: W = 8 × 4 = 32 J। चरण 2: K_i = ½ × 2 × 9 = 9 J। चरण 3: K_f = 9 + 32 = 41 J। चरण 4: ½ × 2 × v² = 41 → v ≈ 6.4 m/s।
7. 1000 kg की कार 20 m/s से चल रही है और 40 m में रुकती है। औसत ब्रेक बल?
चरण 1: ΔK = 0 − ½ × 1000 × 400 = −2 × 10⁵ J। चरण 2: W = −F × 40। चरण 3: F = 2 × 10⁵ / 40 = 5000 N।
8. एक पंप 600 kg पानी 2 मिनट में 20 m ऊपर चढ़ाता है। शक्ति? (g = 10 m/s²)
चरण 1: W = mgh = 600 × 10 × 20 = 1.2 × 10⁵ J। चरण 2: t = 120 s। चरण 3: P = 1000 W = 1 kW (≈ 1.34 hp)।
आम गलतियाँ
- कोण पर लगे बल के लिए W = Fs लिख देना। हमेशा F s cos θ या बिंदु गुणनफल लो।
- भारी बैग पकड़कर खड़े व्यक्ति को कार्य करता मानना। विस्थापन नहीं → भौतिकी वाला कार्य नहीं, भले थकान हो।
- कार्य-ऊर्जा प्रमेय में सिर्फ़ एक बल का कार्य लेना। इसमें सभी बलों का कुल कार्य लेते हैं।
- kW और kWh में गड़बड़। kW शक्ति है; kWh ऊर्जा है (बिजली बिल वाली इकाई)।