गुरुत्वीय स्थितिज ऊर्जा क्या है?
स्थितिज ऊर्जा स्थिति के कारण जमा ऊर्जा है। गुरुत्व एक संरक्षी बल है: उसका किया कार्य सिर्फ़ शुरू और आखिरी जगह पर निर्भर करता है, रास्ते पर नहीं। इसलिए हर स्थिति को एक स्थितिज ऊर्जा U दी जा सकती है।
किसी बिंदु पर वस्तु की गुरुत्वीय स्थितिज ऊर्जा = उसे अनंत से उस बिंदु तक धीरे-धीरे (गतिज ऊर्जा बदले बिना) लाने में बाहरी कारक द्वारा किया गया कार्य।
U = −GMm/r की व्युत्पत्ति
- पृथ्वी के केंद्र से x दूरी पर m पर गुरुत्व बल GMm/x² है, अंदर की ओर।
- m को धीरे-धीरे अंदर लाने के लिए हम उतना ही बल बाहर की ओर लगाते हैं। हमारा बल बाहर, पर वस्तु अंदर चल रही है, इसलिए हमारा कार्य ऋणात्मक है।
- dx लंबाई के हर छोटे कदम में कार्य −(GMm/x²) dx। r से ∞ तक सब जोड़ो: ∫ dx/x² (r से ∞) = 1/r। इसलिए W = −GMm/r।
- तो U(r) = −GMm/r, और U(∞) = 0।
ऋणात्मक क्यों?
गुरुत्व वस्तु को खुद अंदर खींचता है, इसलिए लाते समय बाहरी कारक का कार्य ऋणात्मक है। आसान भाषा में: वस्तु एक कुएँ में फँसी है, उसे अनंत पर आज़ाद करने के लिए GMm/r ऊर्जा देनी पड़ती है। इसलिए उसकी ऊर्जा शून्य से नीचे शुरू होती है।
कई द्रव्यमानों का निकाय
r दूरी पर m₁ और m₂ के लिए U = −Gm₁m₂/r। कई द्रव्यमान हों तो हर जोड़ी का U जोड़ो।
mgh से संबंध
m को सतह (r = R) से h ऊँचाई (r = R + h) तक उठाओ। U में बढ़त
ΔU = −GMm/(R + h) + GMm/R = GMm h / [R(R + h)]
अगर h ≪ R, तो R(R + h) ≈ R² और GM/R² = g, इसलिए ΔU ≈ mgh।
यानी mgh ज़मीन के पास वाला रूप है, जो किसी चुनी हुई सतह से बदलाव मापता है। पूरा सूत्र −GMm/r अनंत से मापता है। बड़ी ऊँचाई पर हमेशा पूरा सूत्र लगाओ; mgh ज़्यादा उत्तर देता है।
साफ़ रूप: ΔU = mgh / (1 + h/R)।
गुरुत्वीय विभव V
किसी बिंदु पर गुरुत्वीय विभव = प्रति एकांक द्रव्यमान स्थितिज ऊर्जा = 1 kg को अनंत से उस बिंदु तक लाने में किया गया कार्य।
V = U/m = −GM/r। मात्रक J/kg, विमा [L² T⁻²]। यह अदिश है।
- पृथ्वी की सतह पर: V = −GM/R = −gR ≈ −6.3 × 10⁷ J/kg।
- कई द्रव्यमान: V = −G(m₁/r₁ + m₂/r₂ + …)। सिर्फ़ संख्याएँ जोड़ो, तीर नहीं।
- m को A से B तक ले जाने का कार्य = m (V_B − V_A)।
- क्षेत्र (g) से संबंध: क्षेत्र कम V की ओर होता है, और उसका मान = दूरी के साथ V के बदलने की दर, g = −dV/dr।
खोखले कोश के अंदर V हर जगह बराबर (−GM/R) है, इसलिए वहाँ क्षेत्र शून्य है।
करके देखो: कीप वाला कुआँ
चार्ट पेपर से शंकु बनाओ (या रसोई की कीप लो) और उसके अंदर कंचा घुमाओ। नीचे पतले हिस्से के पास वह तेज़ घूमता है, ऊपर चौड़े हिस्से में धीमा, बिल्कुल पृथ्वी के ऊर्जा-कुएँ में उपग्रह जैसा। ज़्यादा धक्का दो तो ऊपर चढ़ता है। 3D में गेंद को 6 R तक ले जाओ: U शून्य के और पास आता है, पर कभी धनात्मक नहीं होता।
मुख्य सूत्र और परिभाषाएँ
- U = −GMm/r (अनंत पर U = 0)
- दो द्रव्यमानों के लिए U = −Gm₁m₂/r
- ΔU (R → R + h) = GMm h/[R(R + h)] = mgh/(1 + h/R)
- h ≪ R हो तो ΔU ≈ mgh
- V = −GM/r (J/kg)
- सतह पर V = −gR
- W(A → B) = m(V_B − V_A)
- g = −dV/dr
हल किए गए उदाहरण
1. पृथ्वी की सतह पर 100 kg उपग्रह की गुरुत्वीय स्थितिज ऊर्जा? (GM = 4 × 10¹⁴ m³/s², R = 6.4 × 10⁶ m)
U = −GMm/R = −4 × 10¹⁴ × 100 / 6.4 × 10⁶ = −6.25 × 10⁹ J।
2. पृथ्वी की सतह पर गुरुत्वीय विभव? (g = 9.8, R = 6.4 × 10⁶ m)
V = −gR = −9.8 × 6.4 × 10⁶ ≈ −6.27 × 10⁷ J/kg।
3. 10 kg वस्तु को सतह से h = R ऊँचाई तक उठाने में कितना कार्य?
W = mgh/(1 + h/R) = mgR/2 = 10 × 9.8 × 6.4 × 10⁶ / 2 = 3.14 × 10⁸ J।
4. 2 kg वस्तु ज़मीन के पास 5 m उठाई। ΔU? यहाँ mgh क्यों ठीक है?
ΔU = 2 × 9.8 × 5 = 98 J। 5 m, 6400 km के सामने बहुत छोटा है, यानी h ≪ R।
5. पृथ्वी-चंद्रमा जोड़ी की स्थितिज ऊर्जा? (M = 6 × 10²⁴ kg, m = 7.4 × 10²² kg, r = 3.84 × 10⁸ m)
U = −6.67 × 10⁻¹¹ × 4.44 × 10⁴⁷ / 3.84 × 10⁸ ≈ −7.7 × 10²⁸ J।
6. 2 m दूर रखे 10 kg के दो द्रव्यमानों के बीचों-बीच विभव निकालो।
दोनों 1 m दूर। V = −G(10/1) − G(10/1) = −20G = −1.33 × 10⁻⁹ J/kg।
7. a भुजा वाले समबाहु त्रिभुज के कोनों पर तीन बराबर द्रव्यमान m हैं। निकाय की स्थितिज ऊर्जा?
3 जोड़ियाँ, हर एक −Gm²/a। U = −3Gm²/a।
8. किसी बिंदु पर विभव −5 × 10⁷ J/kg है। वहाँ से 20 kg को अनंत तक ले जाने में कार्य?
W = m(0 − V) = 20 × 5 × 10⁷ = 1 × 10⁹ J।
आम गलतियाँ
- बड़ी ऊँचाई (जैसे h = R) पर mgh लगाना। mgh सिर्फ़ h ≪ R पर ठीक है।
- ऋणात्मक स्थितिज ऊर्जा को 'ऊर्जा नहीं' समझना। इसका मतलब है वस्तु बँधी है; आज़ाद करने को ऊर्जा देनी होगी।
- विभवों को सदिश की तरह जोड़ना। विभव अदिश है: चिह्न सहित संख्याएँ जोड़ो।
- U और V को मिलाना। U = −GMm/r ऊर्जा (J) है; V = −GM/r प्रति kg ऊर्जा (J/kg) है।