नियम आसान शब्दों में
न्यूटन ने समझा कि सेब को नीचे खींचने वाला बल और चंद्रमा को उसकी कक्षा में रखने वाला बल एक ही तरह का है। उन्होंने कहा:
ब्रह्मांड का हर कण हर दूसरे कण को एक बल से आकर्षित करता है, जो उनके द्रव्यमानों के गुणनफल के अनुक्रमानुपाती और उनके बीच की दूरी के वर्ग के व्युत्क्रमानुपाती होता है।
F = G m₁ m₂ / r²
- F = गुरुत्वाकर्षण बल (न्यूटन, N)
- m₁, m₂ = दोनों द्रव्यमान (kg)
- r = दोनों केंद्रों के बीच की दूरी (m)
- G = सार्वत्रिक गुरुत्वाकर्षण नियतांक
सदिश रूप में m₂ पर m₁ का बल F₂₁ = −G m₁ m₂ r̂₁₂ / r²। ऋण चिह्न बताता है कि बल m₁ की ओर है: गुरुत्व हमेशा खींचता है।
गुरुत्वाकर्षण बल की विशेषताएँ
- हमेशा आकर्षण, कभी धक्का नहीं।
- केंद्रीय बल: दोनों केंद्रों को मिलाने वाली रेखा पर।
- बराबर और विपरीत जोड़ी: F₁₂ = −F₂₁ (न्यूटन का तीसरा नियम)। पृथ्वी तुम्हें 500 N से खींचती है, तुम भी पृथ्वी को 500 N से। पृथ्वी का द्रव्यमान बहुत बड़ा है, इसलिए वह हिलती नहीं दिखती।
- माध्यम की ज़रूरत नहीं। खाली जगह में भी काम करता है।
- बीच में क्या रखा है, या वस्तुएँ किस चीज़ से बनी हैं, इस पर निर्भर नहीं।
- रोज़ की चीज़ों के लिए बहुत कमज़ोर, पर ग्रहों-तारों के लिए बहुत बड़ा।
G का मान और उसे कैसे मापा गया
G = 6.67 × 10⁻¹¹ N m² kg⁻²। इसका विमीय सूत्र [M⁻¹ L³ T⁻²] है।
G को सार्वत्रिक कहते हैं क्योंकि इसका मान हर जगह एक है: पृथ्वी पर, चंद्रमा पर, आकाशगंगाओं के बीच। यह माध्यम या वस्तुओं से नहीं बदलता।
हेनरी कैवेंडिश ने सबसे पहले (1798) ऐंठन तुला से इसे मापा: एक पतले तार से हल्की छड़ लटकी थी, जिसके सिरों पर सीसे की छोटी गेंदें थीं। पास में सीसे के बड़े गोले लाए गए। छोटे से गुरुत्व खिंचाव से तार थोड़ा ऐंठ गया। तार की कठोरता जानकर बल और फिर G निकाला गया।
G और g को मत मिलाओ। G प्रकृति का नियतांक है। g किसी जगह पर गुरुत्वीय त्वरण है (पृथ्वी पर लगभग 9.8 m/s²) और जगह के साथ बदलता है।
अध्यारोपण का सिद्धांत: कई द्रव्यमान एक साथ
अगर कई द्रव्यमान एक वस्तु को खींचें, तो हर खिंचाव अलग से F = G m₁ m₂ / r² से निकालो, मानो बाकी हैं ही नहीं। फिर उन्हें सदिश की तरह जोड़ो:
F_कुल = F₁ + F₂ + F₃ + …
दो बल समकोण पर हों तो F_कुल = √(F₁² + F₂²)। उलटी दिशा में हों तो घटाओ।
गोले और खोखले कोश
एकसमान गोला बाहर रखी वस्तु को ऐसे खींचता है मानो उसका सारा द्रव्यमान केंद्र पर हो। इसलिए पृथ्वी-चंद्रमा के लिए r = केंद्रों की दूरी। एकसमान खोखला कोश अपने अंदर रखी वस्तु पर कोई कुल बल नहीं लगाता: सब तरफ़ के खिंचाव कट जाते हैं।
करके देखो: व्युत्क्रम वर्ग को महसूस करो
टॉर्च को दीवार से 1 m दूर रखो और रोशनी का धब्बा देखो। अब 2 m दूर करो। धब्बा 2 गुना चौड़ा और 2 गुना ऊँचा, यानी 4 गुना क्षेत्रफल। उतनी ही रोशनी 4 गुना जगह में फैल गई, तो हर हिस्से को एक-चौथाई मिली। गुरुत्व भी इसी तरह फैलता है, इसलिए 1/r²। 3D में r को 1 m से 2 m करो और देखो F एक-चौथाई होता है।
मुख्य सूत्र और परिभाषाएँ
- F = G m₁ m₂ / r²
- G = 6.67 × 10⁻¹¹ N m² kg⁻²
- [G] = M⁻¹ L³ T⁻²
- F₁₂ = −F₂₁ (बराबर और विपरीत)
- F_कुल = F₁ + F₂ + … (सदिश योग)
- r दोगुना → F/4
हल किए गए उदाहरण
1. 1 m दूर बैठे 50 kg के दो बच्चों के बीच गुरुत्व बल निकालो।
F = 6.67 × 10⁻¹¹ × 50 × 50 / 1² = 1.67 × 10⁻⁷ N। महसूस करने के लिए बहुत छोटा।
2. दो द्रव्यमानों के बीच बल 12 N है। दूरी 2 गुनी करने पर बल?
F ∝ 1/r², नया F = 12 / 4 = 3 N।
3. बल F है। एक द्रव्यमान दोगुना और दूरी आधी कर दी। नया बल?
F' = G(2m₁)m₂/(r/2)² = 2 × 4 × F = 8F।
4. पृथ्वी (6 × 10²⁴ kg) और चंद्रमा (7.4 × 10²² kg) के बीच 3.84 × 10⁸ m दूरी पर बल?
F = 6.67 × 10⁻¹¹ × 6 × 10²⁴ × 7.4 × 10²² / (3.84 × 10⁸)² = 2.96 × 10³⁷ / 1.47 × 10¹⁷ ≈ 2.0 × 10²⁰ N।
5. पृथ्वी की सतह पर 60 kg के छात्र पर पृथ्वी का खिंचाव? (M = 6 × 10²⁴ kg, R = 6.4 × 10⁶ m)
F = 6.67 × 10⁻¹¹ × 6 × 10²⁴ × 60 / (6.4 × 10⁶)² ≈ 586 N। यही छात्र का भार है (≈ 60 × 9.8)।
6. भुजा a वाले वर्ग के तीन कोनों पर बराबर द्रव्यमान m हैं। समकोण वाले कोने के द्रव्यमान पर कुल बल?
दोनों पड़ोसी F = Gm²/a² से, आपस में 90° पर खींचते हैं। F_कुल = √2 Gm²/a², विकर्ण की दिशा में।
7. पृथ्वी और चंद्रमा (दूरी d, पृथ्वी 81 गुना भारी) के बीच कहाँ कुल बल शून्य होगा?
पृथ्वी से x पर: 81/x² = 1/(d − x)², तो 9(d − x) = x, x = 0.9 d पृथ्वी से।
आम गलतियाँ
- मानना कि भारी वस्तु हल्की को ज़्यादा ज़ोर से खींचती है। दोनों बल हमेशा बराबर और विपरीत होते हैं।
- दो गोलों की सतहों के बीच की दूरी को r लेना। केंद्रों के बीच की दूरी लो।
- F ∝ 1/r लिखना। गुरुत्व व्युत्क्रम वर्ग है: r आधा तो F चार गुना।
- G और g को एक समझना। G = 6.67 × 10⁻¹¹ N m² kg⁻² सार्वत्रिक है, g ≈ 9.8 m/s² जगह से बदलता है।