La ley en palabras sencillas
Newton se dio cuenta de que la fuerza que tira de una manzana hacia abajo y la fuerza que mantiene a la Luna en su órbita son del mismo tipo. Dijo:
Toda partícula de materia atrae a cualquier otra partícula con una fuerza directamente proporcional al producto de sus masas e inversamente proporcional al cuadrado de la distancia que las separa.
F = G m₁ m₂ / r²
- F = fuerza de gravedad (newton, N)
- m₁, m₂ = las dos masas (kg)
- r = distancia entre sus centros (m)
- G = constante de gravitación universal
En forma vectorial, la fuerza sobre m₂ debida a m₁ es F₂₁ = −G m₁ m₂ r̂₁₂ / r². El signo menos indica que la fuerza apunta hacia m₁: la gravedad siempre atrae.
Características de la fuerza gravitatoria
- Siempre es atractiva. No existe una gravedad que separe.
- Es una fuerza central: actúa a lo largo de la recta que une los dos centros.
- Pareja de fuerzas iguales y opuestas: F₁₂ = −F₂₁ (tercera ley de Newton). La Tierra te atrae con 500 N; tú atraes a la Tierra también con 500 N. La Tierra casi no se mueve porque su masa es enorme.
- No necesita un medio. Actúa a través del espacio vacío.
- No depende de lo que haya en medio ni del material de los cuerpos.
- Es muy débil para los objetos de uso diario, pero enorme para planetas y estrellas porque sus masas son enormes.
La constante G y cómo se midió
G = 6.67 × 10⁻¹¹ N m² kg⁻². Su fórmula dimensional es [M⁻¹ L³ T⁻²].
G se llama universal porque tiene el mismo valor en todas partes: en la Tierra, en la Luna, entre galaxias. No cambia con el medio ni con los cuerpos.
Henry Cavendish la midió por primera vez (1798) con una balanza de torsión: dos bolitas de plomo en una varilla ligera colgada de un hilo fino. Se acercaron dos esferas grandes de plomo. La diminuta atracción gravitatoria giró el hilo un ángulo pequeño. Conociendo lo rígido que es el hilo, halló la fuerza y después G.
No confundas G con g. G es una constante fija de la naturaleza. g es la aceleración de la gravedad en un lugar (unos 9.8 m/s² en la Tierra) y cambia de un lugar a otro.
Superposición: muchas masas a la vez
Si varias masas atraen a un cuerpo, calcula cada atracción por separado con F = G m₁ m₂ / r², como si las demás no estuvieran. Después súmalas como vectores:
F_neta = F₁ + F₂ + F₃ + …
Si dos fuerzas forman un ángulo recto, usa Pitágoras: F_neta = √(F₁² + F₂²). Si son opuestas, réstalas.
Esferas grandes y capas
Una esfera uniforme atrae a una masa exterior como si toda su masa estuviera en su centro. Por eso usamos r = distancia entre centros para la Tierra y la Luna. Una capa hueca uniforme no ejerce ninguna fuerza sobre una masa colocada dentro: las atracciones de todos los lados se anulan.
Pruébalo: siente el inverso del cuadrado
Sujeta una linterna a 1 m de una pared y marca la mancha de luz. Aléjala hasta 2 m. La mancha se vuelve 2 veces más ancha y 2 veces más alta, o sea, 4 veces el área. La misma luz se reparte en 4 veces más área, así que cada parte recibe una cuarta parte. La gravedad se reparte en el espacio de la misma manera, y por eso va como 1/r². En el 3D, arrastra r de 1 m a 2 m y comprueba que F se vuelve la cuarta parte.
Fórmulas y definiciones clave
- F = G m₁ m₂ / r²
- G = 6.67 × 10⁻¹¹ N m² kg⁻²
- [G] = M⁻¹ L³ T⁻²
- F₁₂ = −F₂₁ (iguales y opuestas)
- F_neta = F₁ + F₂ + … (suma vectorial)
- r se duplica → F pasa a ser F/4
Ejemplos resueltos
1. Halla la fuerza gravitatoria entre dos niños de 50 kg sentados a 1 m de distancia.
F = 6.67 × 10⁻¹¹ × 50 × 50 / 1² = 1.67 × 10⁻⁷ N. Demasiado pequeña para notarla.
2. La fuerza entre dos masas es 12 N. ¿Cuánto vale si la distancia se hace 2 veces mayor?
F ∝ 1/r². Nueva F = 12 / 2² = 3 N.
3. La fuerza entre dos masas es F. Una masa se duplica y la distancia se reduce a la mitad. Halla la nueva fuerza.
F' = G(2m₁)m₂/(r/2)² = 2 × 4 × F = 8F.
4. Halla la fuerza entre la Tierra (6 × 10²⁴ kg) y la Luna (7.4 × 10²² kg), separadas 3.84 × 10⁸ m.
F = 6.67 × 10⁻¹¹ × 6 × 10²⁴ × 7.4 × 10²² / (3.84 × 10⁸)². Numerador = 2.96 × 10³⁷; denominador = 1.47 × 10¹⁷. F ≈ 2.0 × 10²⁰ N.
5. Halla la atracción de la Tierra sobre un estudiante de 60 kg en su superficie (M = 6 × 10²⁴ kg, R = 6.4 × 10⁶ m).
F = 6.67 × 10⁻¹¹ × 6 × 10²⁴ × 60 / (6.4 × 10⁶)² = 2.40 × 10¹⁶ / 4.1 × 10¹³ ≈ 586 N. Es el peso del estudiante (≈ 60 × 9.8).
6. Tres masas iguales m están en tres esquinas de un cuadrado de lado a. Halla la fuerza neta sobre la masa de la esquina que queda entre las otras dos (la esquina del ángulo recto).
Cada vecina atrae con F = Gm²/a², formando 90° entre sí. F_neta = √(F² + F²) = √2 Gm²/a², a lo largo de la diagonal.
7. ¿En qué punto entre la Tierra y la Luna (distancia d, la Tierra 81 veces más pesada) es nula la fuerza neta sobre un cuerpo?
A una distancia x de la Tierra: G(81M)/x² = GM/(d − x)². Entonces 9/x = 1/(d − x), 9d − 9x = x, x = 0.9 d desde la Tierra.
Errores comunes
- Pensar que un cuerpo más pesado atrae con más fuerza a uno ligero que el ligero a él. Las dos fuerzas siempre son iguales y opuestas.
- Usar como r la distancia entre las superficies de dos esferas. Hay que usar la distancia entre los centros.
- Escribir F ∝ 1/r. La gravedad sigue el inverso del cuadrado: si r se reduce a la mitad, F se hace 4 veces mayor.
- Confundir G y g. G = 6.67 × 10⁻¹¹ N m² kg⁻² es universal; g ≈ 9.8 m/s² cambia según el lugar.