Das Gesetz in einfachen Worten
Newton erkannte: Die Kraft, die einen Apfel nach unten zieht, und die Kraft, die den Mond auf seiner Bahn hält, sind dieselbe Art von Kraft. Er formulierte:
Jedes Teilchen Materie zieht jedes andere Teilchen mit einer Kraft an, die direkt proportional zum Produkt der Massen und umgekehrt proportional zum Quadrat des Abstands ist.
F = G m₁ m₂ / r²
- F = Gravitationskraft (Newton, N)
- m₁, m₂ = die beiden Massen (kg)
- r = Abstand zwischen den Mittelpunkten (m)
- G = universelle Gravitationskonstante
In Vektorform ist die Kraft auf m₂ durch m₁ F₂₁ = −G m₁ m₂ r̂₁₂ / r². Das Minuszeichen zeigt, dass die Kraft zu m₁ hin zeigt: Gravitation zieht immer an.
Eigenschaften der Gravitationskraft
- Immer anziehend. Eine abstoßende Gravitation gibt es nicht.
- Zentralkraft: Sie wirkt entlang der Verbindungslinie der beiden Mittelpunkte.
- Kräftepaar, gleich groß und entgegengesetzt: F₁₂ = −F₂₁ (drittes Newtonsches Gesetz). Die Erde zieht dich mit 500 N an; du ziehst die Erde auch mit 500 N an. Die Erde bewegt sich kaum, weil ihre Masse riesig ist.
- Braucht kein Medium. Sie wirkt auch durch den leeren Raum.
- Hängt nicht davon ab, was dazwischen ist, und auch nicht vom Material der Körper.
- Sehr schwach bei Alltagsgegenständen, aber gewaltig bei Planeten und Sternen, weil ihre Massen so riesig sind.
Die Konstante G und wie man sie gemessen hat
G = 6.67 × 10⁻¹¹ N m² kg⁻². Ihre Dimension ist [M⁻¹ L³ T⁻²].
G heißt universell, weil sie überall denselben Wert hat: auf der Erde, auf dem Mond, zwischen Galaxien. Sie ändert sich weder mit dem Medium noch mit den Körpern.
Henry Cavendish hat sie als Erster gemessen (1798), mit einer Drehwaage: zwei kleine Bleikugeln an einem leichten Stab, der an einem dünnen Draht hängt. Zwei große Bleikugeln wurden in ihre Nähe gebracht. Die winzige Anziehung drehte den Draht um einen kleinen Winkel. Weil er wusste, wie steif der Draht ist, konnte er die Kraft und daraus G berechnen.
Verwechsle G nicht mit g. G ist eine feste Naturkonstante. g ist die Fallbeschleunigung an einem Ort (etwa 9.8 m/s² auf der Erde) und ändert sich von Ort zu Ort.
Superposition: viele Massen gleichzeitig
Wenn mehrere Massen an einem Körper ziehen, berechne jede Kraft einzeln mit F = G m₁ m₂ / r², so als wären die anderen nicht da. Addiere sie dann als Vektoren:
F_ges = F₁ + F₂ + F₃ + …
Stehen zwei Kräfte senkrecht aufeinander, nimm Pythagoras: F_ges = √(F₁² + F₂²). Wirken sie in entgegengesetzte Richtungen, subtrahiere.
Große Kugeln und Hohlkugeln
Eine gleichmäßige Kugel zieht eine Masse außerhalb so an, als wäre ihre ganze Masse im Mittelpunkt. Darum nehmen wir bei Erde und Mond r = Abstand der Mittelpunkte. Eine gleichmäßige Hohlkugel übt auf eine Masse in ihrem Inneren keine Kraft aus: Die Kräfte von allen Seiten heben sich auf.
Probier es aus: das Abstandsgesetz spüren
Halte eine Taschenlampe 1 m vor eine Wand und markiere den hellen Fleck. Rücke sie auf 2 m weg. Der Fleck wird 2-mal so breit und 2-mal so hoch, also 4-mal so groß. Dasselbe Licht verteilt sich auf die 4-fache Fläche, jedes Stück bekommt also nur ein Viertel. Die Gravitation breitet sich im Raum genauso aus, deshalb gilt 1/r². Ziehe im 3D-Modell r von 1 m auf 2 m und prüfe, dass F auf ein Viertel sinkt.
Wichtige Formeln und Definitionen
- F = G m₁ m₂ / r²
- G = 6.67 × 10⁻¹¹ N m² kg⁻²
- [G] = M⁻¹ L³ T⁻²
- F₁₂ = −F₂₁ (gleich groß und entgegengesetzt)
- F_ges = F₁ + F₂ + … (Vektorsumme)
- r verdoppelt → F wird F/4
Gelöste Beispiele
1. Berechne die Gravitationskraft zwischen zwei Kindern von je 50 kg, die 1 m voneinander entfernt sitzen.
F = 6.67 × 10⁻¹¹ × 50 × 50 / 1² = 1.67 × 10⁻⁷ N. Viel zu klein, um sie zu spüren.
2. Die Kraft zwischen zwei Massen beträgt 12 N. Wie groß ist sie, wenn der Abstand verdoppelt wird?
F ∝ 1/r². Neue Kraft = 12 / 2² = 3 N.
3. Die Kraft zwischen zwei Massen ist F. Eine Masse wird verdoppelt und der Abstand halbiert. Berechne die neue Kraft.
F' = G(2m₁)m₂/(r/2)² = 2 × 4 × F = 8F.
4. Berechne die Kraft zwischen Erde (6 × 10²⁴ kg) und Mond (7.4 × 10²² kg) bei einem Abstand von 3.84 × 10⁸ m.
F = 6.67 × 10⁻¹¹ × 6 × 10²⁴ × 7.4 × 10²² / (3.84 × 10⁸)². Zähler = 2.96 × 10³⁷; Nenner = 1.47 × 10¹⁷. F ≈ 2.0 × 10²⁰ N.
5. Berechne die Anziehung der Erde auf einen 60 kg schweren Schüler an der Erdoberfläche (M = 6 × 10²⁴ kg, R = 6.4 × 10⁶ m).
F = 6.67 × 10⁻¹¹ × 6 × 10²⁴ × 60 / (6.4 × 10⁶)² = 2.40 × 10¹⁶ / 4.1 × 10¹³ ≈ 586 N. Das ist das Gewicht des Schülers (≈ 60 × 9.8).
6. Drei gleiche Massen m sitzen an drei Ecken eines Quadrats der Seitenlänge a. Berechne die Gesamtkraft auf die Masse an der Ecke zwischen den beiden anderen (die Ecke mit dem rechten Winkel).
Jeder Nachbar zieht mit F = Gm²/a², die Kräfte stehen im Winkel von 90° zueinander. F_ges = √(F² + F²) = √2 Gm²/a², entlang der Diagonale.
7. Wo zwischen Erde und Mond (Abstand d, die Erde ist 81-mal schwerer) ist die Gesamtkraft auf einen Körper null?
Im Abstand x von der Erde: G(81M)/x² = GM/(d − x)². Also 9/x = 1/(d − x), 9d − 9x = x, x = 0.9 d von der Erde.
Häufige Fehler
- Zu glauben, ein schwererer Körper ziehe stärker an einem leichteren als umgekehrt. Die beiden Kräfte sind immer gleich groß und entgegengesetzt.
- r als Abstand zwischen den Oberflächen zweier Kugeln zu nehmen. Nimm den Abstand der Mittelpunkte.
- F ∝ 1/r zu schreiben. Gravitation folgt dem Abstandsquadrat: Halbiere r, und F wird 4-mal so groß.
- G und g zu verwechseln. G = 6.67 × 10⁻¹¹ N m² kg⁻² ist universell; g ≈ 9.8 m/s² ändert sich mit dem Ort.