La loi en mots simples
Newton a compris que la force qui fait tomber une pomme et la force qui retient la Lune sur sa trajectoire sont de même nature. Il a énoncé :
Chaque particule de matière attire toute autre particule avec une force proportionnelle au produit de leurs masses et inversement proportionnelle au carré de la distance qui les sépare.
F = G m₁ m₂ / r²
- F = force de gravité (newton, N)
- m₁, m₂ = les deux masses (kg)
- r = distance entre leurs centres (m)
- G = constante de gravitation universelle
Sous forme vectorielle, la force sur m₂ due à m₁ est F₂₁ = −G m₁ m₂ r̂₁₂ / r². Le signe moins montre que la force est dirigée vers m₁ : la gravité attire toujours.
Les caractéristiques de la force gravitationnelle
- Toujours attractive. Il n'existe pas de gravité qui repousse.
- Force centrale : elle agit le long de la droite qui joint les deux centres.
- Paire de forces égales et opposées : F₁₂ = −F₂₁ (troisième loi de Newton). La Terre t'attire avec 500 N ; tu attires la Terre avec 500 N aussi. La Terre bouge à peine, car sa masse est énorme.
- Elle n'a pas besoin de milieu. Elle agit à travers le vide.
- Elle ne dépend pas de ce qui se trouve entre les corps ni de la matière dont ils sont faits.
- Très faible pour les objets du quotidien, mais gigantesque pour les planètes et les étoiles, car leurs masses sont gigantesques.
La constante G et sa mesure
G = 6.67 × 10⁻¹¹ N m² kg⁻². Sa formule dimensionnelle est [M⁻¹ L³ T⁻²].
G est dite universelle parce qu'elle a la même valeur partout : sur Terre, sur la Lune, entre les galaxies. Elle ne change ni avec le milieu ni avec les corps.
Henry Cavendish l'a mesurée le premier (1798) avec une balance de torsion : deux petites boules de plomb au bout d'une tige légère suspendue à un fil fin. Il a approché deux grosses sphères de plomb. La toute petite attraction a fait tourner le fil d'un petit angle. En connaissant la raideur du fil, il a trouvé la force, puis G.
Ne confonds pas G et g. G est une constante fixe de la nature. g est l'accélération de la pesanteur en un lieu (environ 9.8 m/s² sur Terre) et elle change d'un endroit à l'autre.
Superposition : plusieurs masses à la fois
Si plusieurs masses attirent un même corps, calcule chaque attraction séparément avec F = G m₁ m₂ / r², comme si les autres n'existaient pas. Puis additionne-les comme des vecteurs :
F_tot = F₁ + F₂ + F₃ + …
Si deux forces sont à angle droit, utilise Pythagore : F_tot = √(F₁² + F₂²). Si elles sont opposées, soustrais.
Grosses sphères et coques
Une sphère homogène attire un corps extérieur comme si toute sa masse était concentrée en son centre. C'est pourquoi on prend r = distance entre les centres pour la Terre et la Lune. Une coque creuse homogène n'exerce aucune force sur une masse placée à l'intérieur : les attractions de tous les côtés s'annulent.
Essaie : sentir l'inverse du carré
Tiens une lampe torche à 1 m d'un mur et marque la tache lumineuse. Recule-la à 2 m. La tache devient 2 fois plus large et 2 fois plus haute, donc 4 fois plus grande en surface. La même lumière est répartie sur une surface 4 fois plus grande, donc chaque partie reçoit un quart. La gravité se répand dans l'espace de la même façon, c'est pourquoi elle varie en 1/r². Dans la 3D, fais passer r de 1 m à 2 m et vérifie que F devient quatre fois plus petite.
Formules et définitions clés
- F = G m₁ m₂ / r²
- G = 6.67 × 10⁻¹¹ N m² kg⁻²
- [G] = M⁻¹ L³ T⁻²
- F₁₂ = −F₂₁ (égales et opposées)
- F_tot = F₁ + F₂ + … (somme vectorielle)
- r doublée → F devient F/4
Exemples résolus
1. Trouve la force de gravitation entre deux enfants de 50 kg assis à 1 m l'un de l'autre.
F = 6.67 × 10⁻¹¹ × 50 × 50 / 1² = 1.67 × 10⁻⁷ N. Bien trop petite pour être sentie.
2. La force entre deux masses est de 12 N. Que devient-elle si la distance est multipliée par 2 ?
F ∝ 1/r². Nouvelle F = 12 / 2² = 3 N.
3. La force entre deux masses est F. Une masse est doublée et la distance est divisée par 2. Trouve la nouvelle force.
F' = G(2m₁)m₂/(r/2)² = 2 × 4 × F = 8F.
4. Trouve la force entre la Terre (6 × 10²⁴ kg) et la Lune (7.4 × 10²² kg), distantes de 3.84 × 10⁸ m.
F = 6.67 × 10⁻¹¹ × 6 × 10²⁴ × 7.4 × 10²² / (3.84 × 10⁸)². Numérateur = 2.96 × 10³⁷ ; dénominateur = 1.47 × 10¹⁷. F ≈ 2.0 × 10²⁰ N.
5. Trouve l'attraction de la Terre sur un élève de 60 kg à sa surface (M = 6 × 10²⁴ kg, R = 6.4 × 10⁶ m).
F = 6.67 × 10⁻¹¹ × 6 × 10²⁴ × 60 / (6.4 × 10⁶)² = 2.40 × 10¹⁶ / 4.1 × 10¹³ ≈ 586 N. C'est le poids de l'élève (≈ 60 × 9.8).
6. Trois masses égales m sont placées à trois coins d'un carré de côté a. Trouve la force totale sur la masse du coin situé entre les deux autres (le coin à angle droit).
Chaque voisine attire avec F = Gm²/a², les deux forces étant à 90° l'une de l'autre. F_tot = √(F² + F²) = √2 Gm²/a², le long de la diagonale.
7. Où, entre la Terre et la Lune (distance d, Terre 81 fois plus lourde), la force totale sur un corps est-elle nulle ?
À la distance x de la Terre : G(81M)/x² = GM/(d − x)². Donc 9/x = 1/(d − x), 9d − 9x = x, x = 0.9 d à partir de la Terre.
Erreurs fréquentes
- Croire qu'un corps lourd attire un corps léger plus fort que le corps léger ne l'attire en retour. Les deux forces sont toujours égales et opposées.
- Prendre pour r la distance entre les surfaces de deux sphères. Il faut la distance entre les centres.
- Écrire F ∝ 1/r. La gravité suit l'inverse du carré : si on divise r par 2, F est multipliée par 4.
- Confondre G et g. G = 6.67 × 10⁻¹¹ N m² kg⁻² est universelle ; g ≈ 9.8 m/s² change selon le lieu.