विमाएँ क्या हैं?
हर भौतिक राशि को 7 मूल राशियों से लिखा जा सकता है। किसी राशि की विमाएँ वे घातें हैं जिन पर मूल राशियों को उठाकर वह राशि बनती है। इन्हें बड़े कोष्ठक में लिखते हैं।
- लंबाई → [L], द्रव्यमान → [M], समय → [T], धारा → [A], ताप → [K]
- क्षेत्रफल = लंबाई × लंबाई → [L²]
- चाल = लंबाई ÷ समय → [L T⁻¹]
- बल = द्रव्यमान × त्वरण → [M L T⁻²]. यानी बल की द्रव्यमान में विमा 1, लंबाई में 1 और समय में −2.
[M L T⁻²] को बल का विमीय सूत्र और "[F] = [M L T⁻²]" को विमीय समीकरण कहते हैं।
विमा को मात्रक या संख्या से फ़र्क नहीं पड़ता। चाल km/h में हो या m/s में, दोनों [L T⁻¹].
आम राशियों के विमीय सूत्र
| राशि | सूत्र | विमाएँ |
|---|---|---|
| वेग | दूरी/समय | [M⁰ L T⁻¹] |
| त्वरण | वेग/समय | [M⁰ L T⁻²] |
| बल | m a | [M L T⁻²] |
| कार्य, ऊर्जा | F × s | [M L² T⁻²] |
| शक्ति | कार्य/समय | [M L² T⁻³] |
| संवेग | m v | [M L T⁻¹] |
| दाब, प्रतिबल | F/क्षेत्रफल | [M L⁻¹ T⁻²] |
| घनत्व | m/V | [M L⁻³] |
| आवृत्ति | 1/समय | [T⁻¹] |
| गुरुत्वीय स्थिरांक G | F r²/(m₁m₂) | [M⁻¹ L³ T⁻²] |
| प्लांक स्थिरांक h | E/ν | [M L² T⁻¹] |
| कोण, विकृति, अपवर्तनांक | अनुपात | [M⁰ L⁰ T⁰] (विमाहीन) |
कुछ राशियों का मात्रक है पर विमा नहीं (कोण, रेडियन में)। कुछ स्थिरांकों की विमा होती है (G, h), इन्हें विमीय स्थिरांक कहते हैं।
उपयोग 1: समीकरण की जाँच (विमीय समांगता का सिद्धांत)
समांगता का सिद्धांत: सिर्फ़ एक जैसी विमा वाली राशियाँ जोड़ी, घटाई या बराबर की जा सकती हैं। इसलिए सही समीकरण के हर पद की विमा एक जैसी होती है।
s = ut + ½at² जाँचो: [L] = [L T⁻¹][T] + [L T⁻²][T²] = [L] + [L]. सब पद [L], तो विमीय रूप से सही।
विमा न मिले तो समीकरण पक्का गलत। मिल जाए तो भी गलत हो सकता है (½ जैसी संख्या गायब हो सकती है)। यानी यह जाँच सिर्फ़ गलती पकड़ सकती है।
sin, cos, log और e^x के अंदर की राशि विमाहीन होनी चाहिए। इसलिए y = A sin(ωt) में ωt विमाहीन है और ω की विमा [T⁻¹].
उपयोग 2: एक पद्धति से दूसरी में मात्रक बदलना
राशि मात्रक बदलने से नहीं बदलती: n₁u₁ = n₂u₂. अगर राशि की विमा [Mᵃ Lᵇ Tᶜ] है, तो
n₂ = n₁ (M₁/M₂)ᵃ (L₁/L₂)ᵇ (T₁/T₂)ᶜ
उदाहरण: 1 J को अर्ग में। ऊर्जा [M L² T⁻²], a = 1, b = 2, c = −2. n₂ = 1 × (1 kg/1 g)¹ × (1 m/1 cm)² × 1 = 10³ × 10⁴ = 10⁷. यानी 1 J = 10⁷ erg.
उपयोग 3: राशियों का आपसी संबंध निकालना
अगर पता हो कि कौन-कौन सी राशियाँ असर डालती हैं, तो सूत्र का अंदाज़ा लगा सकते हैं। लोलक का समय T शायद लंबाई l, द्रव्यमान m और g पर निर्भर है। लिखो T = k lᵃ mᵇ gᶜ.
[T] = [L]ᵃ [M]ᵇ [L T⁻²]ᶜ = [Mᵇ Lᵃ⁺ᶜ T⁻²ᶜ]
घातें मिलाओ: M: b = 0. T: −2c = 1 → c = −½. L: a + c = 0 → a = ½.
तो T = k √(l/g). प्रयोग से k = 2π. द्रव्यमान का कोई असर नहीं।
करके देखो
एक चाबी 25 cm धागे पर और एक 100 cm धागे पर लटकाओ। हर एक के 10 दोलन गिनो। लंबे वाले को लगभग दोगुना समय लगेगा, जैसा √4 = 2 बताता है।
विमीय विश्लेषण की सीमाएँ
- 2π या ½ जैसे संख्यात्मक स्थिरांक नहीं निकाल सकता।
- राशि सदिश है या अदिश, यह नहीं बता सकता।
- राशि 3 से ज़्यादा राशियों पर निर्भर हो तो फेल (M, L, T से सिर्फ़ 3 समीकरण बनते हैं)।
- जोड़ वाले (जैसे v = u + at) या sin, log, e^x वाले सूत्र नहीं निकाल सकता।
- दो अलग राशियों की विमा एक हो सकती है (कार्य और बल-आघूर्ण दोनों [M L² T⁻²]), इसलिए विमा मिलना सूत्र का सबूत नहीं।
मुख्य सूत्र और परिभाषाएँ
- [बल] = [M L T⁻²]; [ऊर्जा] = [M L² T⁻²]; [शक्ति] = [M L² T⁻³]
- [दाब] = [M L⁻¹ T⁻²]; [संवेग] = [M L T⁻¹]
- [G] = [M⁻¹ L³ T⁻²]; [h] = [M L² T⁻¹]
- रूपांतरण: n₂ = n₁ (M₁/M₂)ᵃ (L₁/L₂)ᵇ (T₁/T₂)ᶜ
- 1 N = 10⁵ dyne; 1 J = 10⁷ erg
- लोलक: T = 2π√(l/g)
हल किए गए उदाहरण
1. कार्य का विमीय सूत्र निकालो।
कार्य = बल × दूरी = [M L T⁻²] × [L] = [M L² T⁻²].
2. दाब की विमाएँ निकालो।
दाब = बल ÷ क्षेत्रफल = [M L T⁻²] ÷ [L²] = [M L⁻¹ T⁻²].
3. जाँचो कि ½mv² = mgh विमीय रूप से सही है या नहीं।
बायाँ: [M][L T⁻¹]² = [M L² T⁻²]. दायाँ: [M][L T⁻²][L] = [M L² T⁻²]. दोनों एक जैसे, तो विमीय रूप से सही (½ की जाँच नहीं हो सकती)।
4. F = G m₁m₂/r² में G की विमाएँ निकालो।
G = F r²/(m₁m₂) = [M L T⁻²][L²] ÷ [M²] = [M⁻¹ L³ T⁻²].
5. 1 न्यूटन को डाइन में बदलो।
बल [M L T⁻²]. n₂ = 1 × (1 kg/1 g)(1 m/1 cm)(1 s/1 s)⁻² = 10³ × 10² = 10⁵. तो 1 N = 10⁵ dyne.
6. CGS में g = 980 cm s⁻² है। विमा से SI में बदलो।
[L T⁻²]: n₂ = 980 × (1 cm/1 m)¹ = 980 × 10⁻² = 9.8 m s⁻².
7. वृत्त में घूमती वस्तु पर लगने वाला बल F द्रव्यमान m, चाल v और त्रिज्या r पर निर्भर है। सूत्र निकालो।
F = k mᵃ vᵇ rᶜ. [M L T⁻²] = [M]ᵃ [L T⁻¹]ᵇ [L]ᶜ. M: a = 1. T: −b = −2 → b = 2. L: b + c = 1 → c = −1. तो F = k mv²/r (k = 1).
8. y = A sin(kx − ωt) में k और ω की विमाएँ निकालो।
कोण kx − ωt विमाहीन होना चाहिए। k × [L] = 1 → [k] = [L⁻¹]. ω × [T] = 1 → [ω] = [T⁻¹].
आम गलतियाँ
- यह मानना कि विमीय रूप से सही समीकरण पक्का सही है। संख्या गलत हो सकती है।
- कोण या विकृति को विमा देना। ये अनुपात हैं, विमाहीन।
- चाल की विमा [L T] लिखना। समय से भाग देने पर T⁻¹ आता है।
- v = u + at को विमा से निकालने की कोशिश। इसमें जोड़ है, विधि फेल।