संदर्भ तंत्र: आप कहाँ से नाप रहे हो?
गति हमेशा सापेक्ष होती है। किसी चीज़ की जगह बताने के लिए संदर्भ तंत्र (frame of reference) चाहिए: एक मूल बिंदु (शून्य), एक धनात्मक दिशा और समय नापने की घड़ी।
चलती ट्रेन में बैठा यात्री ट्रेन के सापेक्ष विराम में है, पर प्लेटफ़ॉर्म के सापेक्ष चल रहा है। दोनों बातें सही हैं, बस संदर्भ तंत्र अलग है।
सरल रेखा में एक चिह्न वाली संख्या x स्थिति बताती है। विस्थापन Δx = x₂ − x₁, यानी स्थिति में बदलाव। दूरी (पथ-लंबाई) = कुल तय रास्ता, हमेशा धनात्मक।
एकसमान और असमान गति
एकसमान गति: बराबर समय में बराबर विस्थापन, समय कितना भी छोटा हो। वेग स्थिर, x–t ग्राफ सीधी रेखा।
असमान गति: बराबर समय में अलग-अलग विस्थापन। वेग बदलता है और x–t ग्राफ मुड़ा होता है।
औसत और तात्क्षणिक चाल तथा वेग
औसत वेग = विस्थापन ÷ समय = Δx/Δt। औसत चाल = कुल पथ-लंबाई ÷ समय। 100 m जाकर 50 s में वापस आओ तो औसत वेग 0, पर औसत चाल 4 m/s।
तात्क्षणिक वेग यानी किसी एक पल का वेग: v = lim(Δt→0) Δx/Δt = dx/dt। x–t ग्राफ पर यह स्पर्श रेखा की ढाल है। तात्क्षणिक चाल = तात्क्षणिक वेग का परिमाण।
औसत चाल हमेशा औसत वेग के परिमाण से बड़ी या बराबर होती है; बराबर तभी जब वस्तु पीछे न मुड़े।
गति के लिए सरल अवकलन और समाकलन
बस कुछ नियम चाहिए: d/dt(tⁿ) = n tⁿ⁻¹, d/dt(अचर) = 0, और ∫tⁿ dt = tⁿ⁺¹/(n + 1) + C।
- x = 5t² → v = dx/dt = 10t → a = dv/dt = 10 m/s²।
- a = 4 → v = ∫4 dt = 4t + u → x = ∫v dt = 2t² + ut + x₀।
अवकलन x → v → a (ढाल) ले जाता है। समाकलन a → v → x (क्षेत्रफल) वापस लाता है; शुरुआती मान u और x₀ से अचर भरते हैं।
त्वरण और एकसमान त्वरित गति
त्वरण = वेग बदलने की दर: औसत a = Δv/Δt, तात्क्षणिक a = dv/dt (मात्रक m/s²)। जब हर पल a एक जैसा हो तो गति एकसमान त्वरित है; पृथ्वी के पास मुक्त रूप से गिरती वस्तु इसका सबसे अच्छा उदाहरण है (a = g ≈ 9.8 m/s², नीचे की ओर)।
ऋणात्मक a का मतलब हमेशा धीमा होना नहीं। वस्तु तभी धीमी होती है जब v और a के चिह्न उल्टे हों।
स्थिति–समय और वेग–समय ग्राफ
- x–t ग्राफ: ढाल = वेग। सीधी रेखा → एकसमान वेग; ऊपर मुड़ता वक्र → + दिशा में तेज़ होना; क्षैतिज रेखा → विराम।
- v–t ग्राफ: ढाल = त्वरण; ग्राफ और समय-अक्ष के बीच का क्षेत्रफल = विस्थापन (अक्ष के नीचे वाला ऋणात्मक)।
- a–t ग्राफ: क्षेत्रफल = वेग में बदलाव।
ग्राफ में एक ही समय पर दो स्थितियाँ नहीं हो सकतीं, और चाल कभी ऋणात्मक नहीं होती।
ग्राफ और कलन से गति के समीकरण
ग्राफ विधि (v–t सीधी रेखा u से v तक)
ढाल: a = (v − u)/t → v = u + at। क्षेत्रफल = आयत ut + त्रिभुज ½·t·(at) → s = ut + ½at²। समलंब के रूप में s = ½(u + v)t; इसमें t = (v − u)/a रखो → v² = u² + 2as।
कलन विधि
dv/dt = a → ∫ᵤᵛ dv = ∫₀ᵗ a dt → v = u + at। dx/dt = u + at → x − x₀ = ut + ½at²। और a = v dv/dx → ∫v dv = ∫a dx → v² − u² = 2a(x − x₀)।
n-वें सेकंड में दूरी: sₙ = u + a(2n − 1)/2। ये समीकरण सिर्फ स्थिर a पर लागू होते हैं।
मुख्य सूत्र और परिभाषाएँ
- v = dx/dt, a = dv/dt = v·dv/dx
- v = u + at
- s = ut + ½at²
- v² = u² + 2as
- s = ½(u + v)t, sₙ = u + a(2n − 1)/2
- औसत वेग = Δx/Δt; औसत चाल = पथ-लंबाई/समय
हल किए गए उदाहरण
1. एक धावक 400 m का गोल ट्रैक 80 s में पूरा करके शुरुआत पर लौटता है। औसत चाल और औसत वेग निकालो।
चरण 1: पथ-लंबाई = 400 m, विस्थापन = 0। चरण 2: औसत चाल = 400/80 = 5 m/s। चरण 3: औसत वेग = 0/80 = 0।
2. एक कण की स्थिति x = 3t² − 2t + 4 है (x मीटर में, t सेकंड में)। t = 2 s पर वेग और त्वरण निकालो।
चरण 1: v = dx/dt = 6t − 2। चरण 2: t = 2 s पर v = 12 − 2 = 10 m/s। चरण 3: a = dv/dt = 6 m/s² (स्थिर)।
3. एक कार विराम से 2 m/s² त्वरण से चलती है। 5 s बाद उसका वेग और तय दूरी निकालो।
चरण 1: u = 0, a = 2, t = 5। चरण 2: v = u + at = 10 m/s। चरण 3: s = ½ × 2 × 25 = 25 m।
4. 20 m/s से चलती बाइक 5 m/s² के मंदन से ब्रेक लगाती है। रुकने से पहले कितना चलेगी?
चरण 1: u = 20, v = 0, a = −5। चरण 2: v² = u² + 2as → 0 = 400 − 10s। चरण 3: s = 40 m।
5. 45 m ऊँची इमारत से गेंद गिराई जाती है (g = 10 m/s²)। ज़मीन तक पहुँचने का समय और टकराते समय चाल निकालो।
चरण 1: नीचे को धनात्मक लो: u = 0, a = 10, s = 45। चरण 2: 45 = 5t² → t = 3 s। चरण 3: v = gt = 30 m/s।
6. v–t ग्राफ t = 0 पर 4 m/s से t = 6 s पर 16 m/s तक सीधी रेखा है। त्वरण और विस्थापन निकालो।
चरण 1: a = ढाल = (16 − 4)/6 = 2 m/s²। चरण 2: विस्थापन = समलंब का क्षेत्रफल = ½(4 + 16) × 6 = 60 m। चरण 3: जाँच: ut + ½at² = 24 + 36 = 60 m ✓।
7. u = 3 m/s और a = 2 m/s² वाली वस्तु 5वें सेकंड में कितनी दूरी तय करेगी?
चरण 1: sₙ = u + a(2n − 1)/2। चरण 2: s₅ = 3 + 2 × 9/2 = 12 m। चरण 3: जाँच: s(5) − s(4) = 40 − 28 = 12 m ✓।
8. एक कण का त्वरण a = 6t m/s² है। वह x = 0 पर विराम से चलता है। t = 2 s पर v और x निकालो।
चरण 1: a स्थिर नहीं, इसलिए v = u + at नहीं, कलन लगाओ। चरण 2: v = ∫₀ᵗ 6t dt = 3t² → v(2) = 12 m/s। चरण 3: x = ∫₀ᵗ 3t² dt = t³ → x(2) = 8 m।
आम गलतियाँ
- त्वरण समय के साथ बदल रहा हो तब भी v = u + at लगा देना। ऐसे में कलन लगाओ।
- दूरी और विस्थापन को एक मान लेना। वस्तु पीछे मुड़े तो दोनों अलग होते हैं।
- चिह्न भूलना: ऊपर को धनात्मक लिया तो ऊपर फेंकी चीज़ के लिए g = −9.8 m/s²।
- x–t ग्राफ के नीचे के क्षेत्रफल को विस्थापन समझना। विस्थापन सिर्फ v–t ग्राफ का क्षेत्रफल है।