गैसों का अणुगति सिद्धांत क्या है?

यह गैस को बेतरतीब चलते, प्रत्यास्थ टकराते छोटे अणुओं का समूह मानकर दाब और ताप को समझाता है।

v_rms का सूत्र क्या है?

v_rms = √(3RT/M) = √(3kT/m) = √(3P/ρ)।

ताप की अणुगतिक व्याख्या क्या है?

ताप अणुओं की औसत गतिज ऊर्जा के अनुपाती है: ½ m v̄² = (3/2) kT।

गैसों का अणुगति सिद्धांत कक्षा 11

अणुगति सिद्धांत गैस को बहुत छोटे, तेज़, बेतरतीब चलते अणुओं का समूह मानता है, जो प्रत्यास्थ रूप से टकराते हैं और एक-दूसरे को खींचते नहीं। दीवार से टकराने पर अणु का वेग उलटता है और दीवार को 2mvₓ संवेग मिलता है। सब अणुओं की टक्करें जोड़ने पर दाब P = ⅓ n m v̄² = ⅓ ρ v̄² आता है। इसे PV = N k T से मिलाने पर एक अणु की औसत गतिज ऊर्जा (3/2) k T मिलती है: ताप अणुओं की औसत गतिज ऊर्जा का माप है। वर्ग-माध्य-मूल चाल v_rms = √(3RT/M) है, इसलिए समान ताप पर हल्की गैस तेज़ चलती है।

अणुगति सिद्धांत की मान्यताएँ

आसान मॉडल बनाने के लिए हम मानते हैं:

गैस बहुत सारे एक जैसे अणुओं से बनी है।
अणु बहुत छोटे हैं: उनका अपना आकार उनके बीच की दूरी की तुलना में नगण्य है।
वे हर दिशा में, अलग-अलग चालों से, बेतरतीब चलते हैं।
टक्कर के अलावा वे एक-दूसरे को न खींचते हैं, न धकेलते हैं।
टक्करें (आपस में और दीवार से) पूर्णतः प्रत्यास्थ हैं: गतिज ऊर्जा नष्ट नहीं होती।
टक्कर का समय दो टक्करों के बीच के समय से बहुत कम है।
हर अणु पर न्यूटन के नियम लागू हैं। गुरुत्व का असर नगण्य है।

आदर्श गैस का दाब: व्युत्पत्ति

भुजा l का एक घन लो जिसमें N अणु हैं, हर एक का द्रव्यमान m।

चरण 1: एक टक्कर

x-वेग vₓ वाला अणु दाईं दीवार से टकराकर −vₓ से लौटता है। संवेग परिवर्तन −2mvₓ, इसलिए दीवार को 2mvₓ मिलता है।

चरण 2: कितनी बार

उसी दीवार से फिर टकराने से पहले वह 2l दूरी तय करता है। दो टक्करों के बीच समय = 2l/vₓ। प्रति सेकंड टक्करें = vₓ/2l।

चरण 3: एक अणु का बल

बल = प्रति सेकंड संवेग = 2mvₓ × vₓ/2l = mvₓ²/l।

चरण 4: सभी अणु

F = (m/l) Σ vₓ²। दाब P = F/l² = (m N/V) × vₓ² का औसत।

चरण 5: दिशाएँ बाँटो

गति बेतरतीब है, इसलिए vₓ², v_y², v_z² के औसत बराबर = ⅓ v̄² (माध्य वर्ग चाल)। तो

P = ⅓ n m v̄² = ⅓ ρ v̄², जहाँ n = N/V और ρ = nm घनत्व।

यानी PV = ⅓ N m v̄² = ⅔ × (कुल स्थानांतरी गतिज ऊर्जा)।

ताप की अणुगतिक व्याख्या

PV = ⅓ N m v̄² को PV = N k_B T से मिलाओ:

⅓ m v̄² = k_B T, इसलिए एक अणु की औसत गतिज ऊर्जा = ½ m v̄² = (3/2) k_B T।

ताप अणुओं की औसत गतिज ऊर्जा का माप है।
यह गैस पर निर्भर नहीं: समान T पर हाइड्रोजन और ऑक्सीजन अणु की औसत KE बराबर।
एक मोल की कुल KE = (3/2) RT।
परम शून्य पर यह मॉडल कहता है कि बेतरतीब गति रुक जाएगी।

वर्ग-माध्य-मूल चाल (v_rms)

वर्ग-माध्य-मूल चाल तीन कदम में: सब चालों का वर्ग करो, उनका माध्य लो, फिर वर्गमूल लो।

v_rms = √(v̄²) = √(3k_BT/m) = √(3RT/M) = √(3P/ρ)

v_rms ∝ √T: केल्विन ताप 4 गुना तो चाल 2 गुना।
v_rms ∝ 1/√M: समान T पर हल्की गैस तेज़।
300 K पर ऑक्सीजन: v_rms ≈ 483 m/s, हवा में ध्वनि से भी तेज़।

दूसरे औसत: माध्य चाल v̄ = √(8RT/πM) और सर्वाधिक प्रायिक चाल v_p = √(2RT/M)। क्रम: v_p < v̄ < v_rms।

करके देखो: 3D में और घर पर

3D में: 300 K पर O₂ चुनो और v_rms लिखो। सोचो 1200 K (4 गुना) पर कितनी होगी, फिर जाँचो। फिर H₂ चुनकर अंदाज़ा लगाओ।
घर पर: ठंडे पानी और गर्म पानी में एक-एक बूँद स्याही डालो। गर्म पानी में स्याही जल्दी फैलती है, क्योंकि अणु तेज़ चलते हैं।

बोर्ड परीक्षा के लिए ज़रूरी

दाब की 5 चरण वाली व्युत्पत्ति अक्सर 5 अंक में पूछी जाती है। घन बनाओ और 2mvₓ दिखाओ।
संबंध: P = ⅔ E, जहाँ E प्रति एकांक आयतन स्थानांतरी गतिज ऊर्जा।
औसत KE = (3/2) kT द्रव्यमान पर निर्भर नहीं।
प्रश्नों में: समान T पर v_rms का अनुपात = √(M₂/M₁)।

मुख्य सूत्र और परिभाषाएँ

प्रति टक्कर दीवार को संवेग = 2mvₓ
P = ⅓ n m v̄² = ⅓ ρ v̄²
PV = ⅓ N m v̄² = ⅔ E_कुल
एक अणु की औसत KE = ½ m v̄² = (3/2) k_B T
1 मोल की KE = (3/2) RT
v_rms = √(3k_BT/m) = √(3RT/M) = √(3P/ρ)
v_rms1 / v_rms2 = √(M₂/M₁)
v_p = √(2RT/M), v̄ = √(8RT/πM)

हल किए गए उदाहरण

1. चार अणुओं की चालें 2, 4, 6 और 8 m/s हैं। v_rms निकालो।

चरण 1: वर्ग: 4, 16, 36, 64। चरण 2: माध्य = 120/4 = 30। चरण 3: वर्गमूल। उत्तर: v_rms = √30 ≈ 5.48 m/s (सामान्य औसत 5 m/s है)।

2. 27 °C पर गैस अणु की औसत गतिज ऊर्जा निकालो। (k = 1.38 × 10⁻²³ J/K)

चरण 1: T = 300 K। चरण 2: KE = (3/2) k T = 1.5 × 1.38 × 10⁻²³ × 300। उत्तर: KE ≈ 6.21 × 10⁻²¹ J।

3. 300 K पर ऑक्सीजन अणुओं की v_rms निकालो। (M = 32 g/mol, R = 8.31)

चरण 1: M = 0.032 kg/mol। चरण 2: v_rms = √(3 × 8.31 × 300 / 0.032) = √233719। उत्तर: v_rms ≈ 483 m/s।

4. किस ताप पर गैस की v_rms, 27 °C वाली की दोगुनी होगी?

चरण 1: v_rms ∝ √T। चरण 2: चाल दोगुनी करने के लिए T 4 गुना। चरण 3: T = 4 × 300 = 1200 K। उत्तर: 1200 K = 927 °C।

5. समान ताप पर हाइड्रोजन (M = 2) और ऑक्सीजन (M = 32) की v_rms की तुलना करो।

चरण 1: v_H/v_O = √(M_O/M_H)। चरण 2: = √(32/2) = √16। उत्तर: हाइड्रोजन 4 गुना तेज़।

6. 1.0 × 10⁵ Pa दाब पर गैस का घनत्व 1.25 kg/m³ है। अणुओं की v_rms?

चरण 1: v_rms = √(3P/ρ)। चरण 2: = √(3 × 10⁵ / 1.25) = √240000। उत्तर: v_rms ≈ 490 m/s।

7. 400 K पर 2 mol हीलियम की कुल स्थानांतरी गतिज ऊर्जा? (R = 8.31)

चरण 1: n मोल की KE = (3/2) n R T। चरण 2: = 1.5 × 2 × 8.31 × 400। उत्तर: KE ≈ 9.97 × 10³ J।

आम गलतियाँ

v_rms को सामान्य औसत चाल समझ लेना। पहले वर्ग, फिर औसत, फिर वर्गमूल।
यह सोचना कि समान ताप पर भारी अणु की KE ज़्यादा है। औसत KE = (3/2)kT, सब गैसों के लिए एक।
√(3RT/M) में M को g/mol में रखना। M, kg/mol में होना चाहिए।
भूल जाना कि हर टक्कर में दीवार को 2mvₓ मिलता है, mvₓ नहीं, क्योंकि वेग उलटता है।

अभ्यास क्विज़

अभ्यास: खुद जवाब दो

अपना जवाब लिखो या चुनो, फिर जाँचें दबाओ। अटको तो संकेत देखो; जवाब देने के बाद पूरा हल दिखेगा।

यूक्रेन	10 клас	Molecular physics and thermodynamics
यूक्रेन	10 клас	Molecular physics and thermodynamics
सीबीएसई (भारत)	कक्षा 11	आदर्श गैसों का व्यवहार और गैसों का अणुगति सिद्धांत
इंग्लैंड	Year 13	3.6 Further mechanics and thermal physics
अमेरिका	Grade 11	Properties of Substances and Mixtures
अमेरिका	Grade 12	Thermodynamics
जापान	高校2年	Various motions
रूस	10 класс	Molecular kinetic theory
रूस	10 класс	Molecular physics
चीन	高三	Selective 3 Ch.1 Molecular kinetic theory

गैसों का अणुगति सिद्धांत: दाब, ताप और वर्ग-माध्य-मूल चाल

🎬 कदम-दर-कदम कहानी

🤔 आम शंकाएँ और उनके जवाब

अणुओं का आकार क्यों नगण्य मानते हैं?

दीवार को 2mvₓ क्यों मिलता है, mvₓ क्यों नहीं?

P = ⅓ n m v̄² में एक-तिहाई कहाँ से आया?

समान ताप पर क्या भारी गैस में ज़्यादा ऊर्जा है?

सामान्य औसत चाल की जगह v_rms क्यों लेते हैं?

क्या सब अणुओं की चाल बराबर है?