माध्य मुक्त पथ क्या है?
गैस के अणु बहुत तेज़ चलते हैं, हवा में लगभग 500 m/s। पर वे अकेले नहीं हैं। हर अणु बार-बार दूसरे अणुओं से टकराता है।
दो टक्करों के बीच अणु जो सीधी दूरी तय करता है, वह मुक्त पथ है। बहुत सारे मुक्त पथों का औसत माध्य मुक्त पथ है, जिसे λ (लैम्डा) लिखते हैं।
कमरे के ताप और दाब पर हवा के लिए λ ≈ 10⁻⁷ m, यानी अणु के आकार का लगभग 300 गुना।
λ = 1/(√2 n π d²) की व्युत्पत्ति
चरण 1: टक्कर नली
हर अणु को व्यास d का गोला मानो। दो अणु तब छूते हैं जब उनके केंद्र d दूर हों। इसलिए हमारा अणु हर उस अणु से टकराता है जिसका केंद्र उसकी गति-रेखा से d के भीतर है। यह त्रिज्या d की नली बनाता है, अनुप्रस्थ काट πd²।
चरण 2: घेरा गया आयतन
समय t में, चाल v̄ से, यह आयतन πd² v̄ t घेरता है।
चरण 3: टक्करों की संख्या
हर m³ में n अणु हों तो टक्करें = n πd² v̄ t।
चरण 4: प्रति टक्कर दूरी
λ = दूरी / टक्करें = v̄ t / (n πd² v̄ t) = 1/(nπd²)।
चरण 5: बाकी अणु भी चलते हैं
दूसरे अणु भी चलते हैं, तो सापेक्ष चाल औसतन √2 गुना होती है। इससे √2 जुड़ता है:
λ = 1 / (√2 n π d²)
n = P/(kBT) रखने पर: λ = kBT / (√2 π d² P)।
माध्य मुक्त पथ किन बातों पर निर्भर है?
- संख्या घनत्व n: λ ∝ 1/n। भीड़ वाली गैस में छोटे मुक्त पथ।
- व्यास d: λ ∝ 1/d²। बड़े अणु ज़्यादा टकराते हैं।
- दाब P (T स्थिर): λ ∝ 1/P। हवा निकालो तो λ बढ़ता है।
- ताप T (P स्थिर): λ ∝ T, क्योंकि गैस फैल जाती है।
- टक्कर आवृत्ति: ν = v̄/λ; दो टक्करों के बीच समय τ = λ/v̄।
गंध धीरे क्यों फैलती है?
इत्र का अणु सैकड़ों m/s से चलता है, पर लगभग 0.1 μm चलते ही टक्कर खाकर नई दिशा में मुड़ जाता है। हर सेकंड अरबों बेतरतीब मोड़ उसे दौड़ने नहीं, भटकने देते हैं। इस धीमे फैलाव को विसरण कहते हैं। हवा के बहाव से गंध आमतौर पर विसरण से तेज़ पहुँचती है।
करके देखो: 3D में और घर पर
- 3D में: भीड़ 1 रखो और 10 सेकंड तक टक्करें गिनो। भीड़ 2 पर कितनी होंगी, सोचो, फिर जाँचो। अब d दोगुना करने से पहले λ का अंदाज़ा लगाओ।
- घर पर: खाली गलियारे में चलो, फिर भीड़ वाली जगह (जैसे रेलवे प्लेटफ़ॉर्म) में। भीड़ में दो टक्करों के बीच आपकी सीधी चाल बहुत छोटी हो जाती है: यही छोटा माध्य मुक्त पथ है।
बोर्ड परीक्षा के लिए ज़रूरी
- माध्य मुक्त पथ की परिभाषा और λ = 1/(√2 n π d²) लिखो; टक्कर नली वाली व्युत्पत्ति 3 अंक में आती है।
- P, T, n और d से λ कैसे बदलता है, यह जानो।
- मात्रक बदलो: d मीटर में, n प्रति m³ में; उत्तर अक्सर nm या μm में।
मुख्य सूत्र और परिभाषाएँ
- λ = 1 / (√2 n π d²)
- λ = k_B T / (√2 π d² P)
- n = P / (k_B T)
- टक्कर अनुप्रस्थ काट = π d²
- टक्कर आवृत्ति ν = v̄ / λ
- टक्करों के बीच समय τ = λ / v̄
- λ ∝ 1/n, λ ∝ 1/d², λ ∝ T/P
हल किए गए उदाहरण
1. STP पर नाइट्रोजन के लिए n = 2.7 × 10²⁵ m⁻³ और d = 3.0 × 10⁻¹⁰ m है। माध्य मुक्त पथ निकालो।
चरण 1: πd² = 3.14 × 9 × 10⁻²⁰ = 2.83 × 10⁻¹⁹ m²। चरण 2: √2 n πd² = 1.414 × 2.7 × 10²⁵ × 2.83 × 10⁻¹⁹ = 1.08 × 10⁷। चरण 3: λ = 1/1.08 × 10⁷। उत्तर: λ ≈ 9.3 × 10⁻⁸ m (लगभग 93 nm)।
2. 300 K और 1.0 × 10⁵ Pa पर d = 2.0 × 10⁻¹⁰ m वाली गैस का λ निकालो। (k = 1.38 × 10⁻²³ J/K)
चरण 1: kT = 4.14 × 10⁻²¹ J। चरण 2: √2 π d² P = 1.414 × 3.14 × 4 × 10⁻²⁰ × 10⁵ = 1.78 × 10⁻¹⁴। चरण 3: λ = 4.14 × 10⁻²¹ / 1.78 × 10⁻¹⁴। उत्तर: λ ≈ 2.3 × 10⁻⁷ m।
3. 1 atm पर गैस का माध्य मुक्त पथ 100 nm है। उसी ताप पर 0.01 atm पर कितना?
चरण 1: स्थिर T पर λ ∝ 1/P। चरण 2: दाब 100 गुना कम, तो λ 100 गुना। उत्तर: λ = 10⁴ nm = 10 μm।
4. औसत चाल 500 m/s और λ = 1.0 × 10⁻⁷ m। टक्कर आवृत्ति और टक्करों के बीच समय निकालो।
चरण 1: ν = v̄/λ = 500 / 10⁻⁷ = 5 × 10⁹ प्रति सेकंड। चरण 2: τ = 1/ν। उत्तर: ν = 5 × 10⁹ s⁻¹, τ = 2 × 10⁻¹⁰ s।
5. गैस A के अणु गैस B से दोगुने चौड़े हैं। n बराबर है। माध्य मुक्त पथों की तुलना करो।
चरण 1: λ ∝ 1/d²। चरण 2: λ_A/λ_B = (1/2)²। उत्तर: λ_A = λ_B / 4।
6. 300 K और 1.0 × 10⁵ Pa पर प्रति m³ अणुओं की संख्या?
चरण 1: n = P/(kT)। चरण 2: n = 10⁵ / 4.14 × 10⁻²¹। उत्तर: n ≈ 2.4 × 10²⁵ m⁻³।
7. 300 K पर d = 3.0 × 10⁻¹⁰ m वाली गैस को किस दाब तक निकालें कि λ = 1 m हो?
चरण 1: P = kT/(√2 π d² λ)। चरण 2: √2 π d² = 1.414 × 3.14 × 9 × 10⁻²⁰ = 4.0 × 10⁻¹⁹ m²। चरण 3: P = 4.14 × 10⁻²¹ / (4.0 × 10⁻¹⁹ × 1)। उत्तर: P ≈ 1.0 × 10⁻² Pa (अच्छा निर्वात)।
आम गलतियाँ
- λ = 1/(√2 n π d²) में व्यास की जगह त्रिज्या रख देना। टक्कर नली की त्रिज्या पूरा व्यास d है।
- दूसरे अणुओं की गति से आने वाला √2 भूल जाना।
- सोचना कि n स्थिर होने पर भी ताप से λ बदलता है। स्थिर n पर λ स्थिर; λ ∝ T सिर्फ़ स्थिर दाब पर।
- सोचना कि तेज़ अणु कमरा मिलीसेकंड में पार कर लेगा। टक्करों से वह ज़िगज़ैग चलता है, इसलिए धीरे फैलता है।