तरंग क्या है? अनुप्रस्थ और अनुदैर्ध्य तरंगें
तरंग एक विक्षोभ है जो माध्यम में चलता है और ऊर्जा ले जाता है, जबकि माध्यम का हर कण अपनी जगह के आसपास ही थोड़ा हिलता है।
- अनुप्रस्थ तरंग: कण तरंग की दिशा के लंबवत हिलते हैं। इसमें शृंग (ऊपरी हिस्से) और गर्त (निचले हिस्से) होते हैं। उदाहरण: डोरी पर तरंग, प्रकाश।
- अनुदैर्ध्य तरंग: कण तरंग की दिशा में ही आगे-पीछे हिलते हैं। इसमें संपीडन (भीड़, ज़्यादा दाब) और विरलन (फैलाव, कम दाब) होते हैं। उदाहरण: हवा में ध्वनि।
अनुप्रस्थ यांत्रिक तरंगों को ऐसा माध्यम चाहिए जो आकार बदलने का विरोध करे, इसलिए ये ठोसों और डोरी में चलती हैं, गैस के अंदर नहीं। अनुदैर्ध्य तरंगें ठोस, द्रव और गैस तीनों में चलती हैं।
प्रगामी (चलती) तरंग आगे बढ़ती रहती है और ऊर्जा साथ ले जाती है।
तरंगदैर्ध्य, आवृत्ति और तरंग की चाल
- तरंगदैर्ध्य λ: एक ही कला वाले दो पास के बिंदुओं की दूरी, जैसे शृंग से शृंग।
- आवृत्ति f: हर सेकंड किसी बिंदु से गुज़रती तरंगें (= स्रोत की आवृत्ति)।
- आवर्तकाल T = 1/f।
एक आवर्तकाल में तरंग एक तरंगदैर्ध्य आगे जाती है, इसलिए v = λ/T = fλ।
चाल माध्यम पर निर्भर है
- तनाव T और प्रति इकाई लंबाई द्रव्यमान μ वाली डोरी: v = √(T/μ)।
- ठोस छड़ में ध्वनि: v = √(Y/ρ); तरल में: v = √(B/ρ)।
- गैस में ध्वनि: न्यूटन ने माना कि बदलाव समतापी है, v = √(P/ρ) ≈ 280 m/s, जो कम है। लाप्लास संशोधन: दबना-फैलना इतना तेज़ है कि ऊष्मा आ-जा नहीं पाती (रुद्धोष्म), इसलिए v = √(γP/ρ) ≈ 331 m/s (0 °C पर, हवा के लिए γ = 1.4)।
- ताप बढ़ने पर ध्वनि की चाल बढ़ती है (v ∝ √T, केल्विन में)। नियत ताप पर दाब का असर नहीं। नम हवा में ध्वनि थोड़ी तेज़।
प्रगामी तरंग का विस्थापन संबंध
+x की ओर चलती तरंग में, जगह x पर कण का समय t पर विस्थापन:
y(x, t) = A sin(kx − ωt + φ)
- A = आयाम।
- k = 2π/λ = कोणीय तरंग संख्या (rad/m)।
- ω = 2πf = कोणीय आवृत्ति (rad/s)।
- (kx − ωt + φ) = कला।
समीकरण से चाल: v = ω/k। −x की ओर जाती तरंग: y = A sin(kx + ωt + φ)।
एक ही समय पर Δx दूर दो बिंदुओं का कलांतर: Δφ = (2π/λ) Δx। हर कण SHM करता है; आगे के कण बस पीछे रहते हैं।
करके देखो: रस्सी और स्लिंकी
लंबी रस्सी (या दुपट्टा) का एक सिरा दरवाज़े के हैंडल से बाँधो। हाथ को एक बार ऊपर झटको: एक उभार रस्सी पर दौड़ता है (अनुप्रस्थ)। रस्सी और कसो और फिर झटको: उभार तेज़ दौड़ता है। स्लिंकी हो तो उसे फ़र्श पर रखकर एक सिरा धकेलो: भीड़ वाला हिस्सा आगे दौड़ता है (अनुदैर्ध्य)। 3D के चरण 5 में दोनों करके v और λ पढ़ो।
मुख्य सूत्र और परिभाषाएँ
- v = fλ = λ/T
- y = A sin(kx − ωt + φ), k = 2π/λ, ω = 2πf, v = ω/k
- String: v = √(T/μ)
- Sound in gas: v = √(γP/ρ) (Laplace); Newton: √(P/ρ)
- Phase difference Δφ = (2π/λ) Δx
हल किए गए उदाहरण
1. f = 500 Hz और λ = 0.68 m वाली तरंग की चाल?
v = fλ = 500 × 0.68 = 340 m/s।
2. रेडियो स्टेशन 100 MHz पर प्रसारण करता है। रेडियो तरंगों की चाल 3 × 10⁸ m/s। λ निकालो।
λ = v/f = 3 × 10⁸/10⁸ = 3 m।
3. 20 g द्रव्यमान और 2 m लंबी डोरी 80 N से तनी है। तरंग की चाल?
μ = 0.02/2 = 0.01 kg/m। v = √(80/0.01) = √8000 ≈ 89.4 m/s।
4. y = 0.02 sin(4πx − 400πt) (SI)। A, λ, f और v निकालो।
A = 0.02 m। k = 4π → λ = 0.5 m। ω = 400π → f = 200 Hz। v = ω/k = 100 m/s (+x की ओर)।
5. λ = 2 m वाली तरंग पर 0.5 m दूर दो बिंदुओं का कलांतर?
Δφ = (2π/2) × 0.5 = π/2।
6. 27 °C पर हवा में ध्वनि की चाल 347 m/s है। 127 °C पर?
v ∝ √T। v₂ = 347 × √(400/300) ≈ 401 m/s।
7. हवा के लिए (P = 1.01 × 10⁵ Pa, ρ = 1.29 kg/m³, γ = 1.4) न्यूटन और लाप्लास के सूत्र लगाओ।
न्यूटन: √(P/ρ) = √78300 ≈ 280 m/s। लाप्लास: √(1.4 × 78300) ≈ 331 m/s, जो प्रयोग से मिलता है।
8. डोरी का तनाव 4 गुना करने पर चाल और (वही आवृत्ति पर) तरंगदैर्ध्य?
v ∝ √T, तो v दोगुनी। λ = v/f, तो λ भी दोगुनी।
आम गलतियाँ
- मानना कि कण तरंग के साथ चलते हैं। वे अपनी जगह के आसपास ही हिलते हैं; ऊर्जा चलती है।
- k और λ को मिलाना। k = 2π/λ, तो k = 4π rad/m पर λ = 0.5 m, 4π नहीं।
- मानना कि तेज़ (बड़े आयाम वाली) आवाज़ तेज़ चलती है। चाल माध्यम पर निर्भर है, आयाम या आवृत्ति पर नहीं।
- हवा में ध्वनि के लिए न्यूटन का √(P/ρ) लगाना। सही सूत्र लाप्लास का √(γP/ρ) है।