अध्यारोपण का सिद्धांत
जब दो या ज़्यादा तरंगें एक ही बिंदु से गुज़रती हैं, तो कुल विस्थापन अलग-अलग विस्थापनों का योग होता है:
y = y₁ + y₂ + …
- शृंग + शृंग: बड़ा शृंग (संपोषी)।
- शृंग + गर्त: कट जाते हैं (विनाशी)।
एक-दूसरे को पार करने के बाद हर तरंग बिना बदले आगे जाती है। अध्यारोपण से अप्रगामी तरंगें, विस्पंद और व्यतिकरण समझ आते हैं।
तरंगों का परावर्तन
तरंग सीमा तक पहुँचे तो उसका कुछ या पूरा भाग लौट आता है।
- दृढ़ (बंधा) सिरा: सिरा हिल नहीं सकता, तो परावर्तित तरंग उलटी होती है: कला में π (180°) का बदलाव। शृंग गर्त बनकर लौटता है। सिरे पर निस्पंद बनता है।
- मुक्त (खुला) सिरा: सिरा हिल सकता है, तो तरंग सीधी लौटती है, कला नहीं बदलती। सिरे पर प्रस्पंद बनता है।
आपतित तरंग y = A sin(kx − ωt) हो, तो x = 0 पर दृढ़ सिरे से लौटी तरंग y = A sin(kx + ωt): उतनी ही बड़ी, उल्टी दिशा में, और उलटी ताकि सिरा स्थिर रहे।
अप्रगामी तरंगें: निस्पंद और प्रस्पंद
उल्टी दिशाओं में चलती दो एक जैसी तरंगें जुड़कर देती हैं
y = 2A sin(kx) cos(ωt)
यह अप्रगामी (स्थिर) तरंग है: आकार आगे नहीं बढ़ता। हर बिंदु अपने आयाम 2A sin(kx) से SHM करता है।
- निस्पंद: कभी न हिलने वाले बिंदु (sin kx = 0), x = 0, λ/2, λ, … पर।
- प्रस्पंद: सबसे ज़्यादा हिलने वाले बिंदु, x = λ/4, 3λ/4, … पर।
- निस्पंद से अगला निस्पंद = λ/2; निस्पंद से अगला प्रस्पंद = λ/4।
- अप्रगामी तरंग ऊर्जा आगे नहीं ले जाती; ऊर्जा निस्पंदों के बीच फँसी रहती है।
तनी डोरी में अप्रगामी तरंगें
दोनों सिरे बंधे हैं, तो दोनों पर निस्पंद। सिर्फ़ पूरे आधे-तरंग फिट होते हैं:
L = nλ/2 → λₙ = 2L/n → fₙ = n·v/2L, n = 1, 2, 3, …, जहाँ v = √(T/μ)।
- n = 1: मूल आवृत्ति (पहला संनादी), f₁ = (1/2L)√(T/μ)।
- n = 2, 3, …: दूसरा, तीसरा संनादी (अधिस्वरक)। डोरी सारे संनादी देती है।
- n-वें विधा में n + 1 निस्पंद और n प्रस्पंद।
ऑर्गन पाइप: बंद और खुले
पाइप में हवा का स्तंभ कंपन करता है। बंद सिरे पर विस्थापन निस्पंद; खुले सिरे पर प्रस्पंद।
बंद पाइप (एक सिरा बंद)
L = nλ/4, n विषम → fₙ = n·v/4L, n = 1, 3, 5, … सिर्फ़ विषम संनादी। मूल f₁ = v/4L।
खुला पाइप (दोनों सिरे खुले)
L = nλ/2 → fₙ = n·v/2L, n = 1, 2, 3, … सारे संनादी। मूल f₁ = v/2L, उसी लंबाई के बंद पाइप का दोगुना।
(सटीक काम में हर खुले सिरे पर लगभग 0.3 × व्यास का सिरा संशोधन L में जोड़ा जाता है।)
करके देखो: बोतल का बाजा
काँच की बोतल के मुँह पर तिरछा फूँको: एक भारी सुर सुनाई देगा। बोतल बंद पाइप है (तली बंद)। थोड़ा पानी डालो: हवा का स्तंभ L छोटा हुआ और सुर ऊँचा, क्योंकि f = v/4L। अंदाज़ा: आधा स्तंभ ≈ दोगुनी आवृत्ति। 3D के चरण 5 में "बंद पाइप" चुनकर L घटाओ और जाँचो।
मुख्य सूत्र और परिभाषाएँ
- y = y₁ + y₂ (superposition)
- Standing wave: y = 2A sin(kx) cos(ωt); nodes λ/2 apart
- String / open pipe: fₙ = n·v/2L, n = 1, 2, 3…
- Closed pipe: fₙ = n·v/4L, n = 1, 3, 5…
- String: f₁ = (1/2L)√(T/μ)
हल किए गए उदाहरण
1. 0.5 m डोरी पर तरंग की चाल 200 m/s है। मूल और तीसरा संनादी?
f₁ = v/2L = 200 Hz। f₃ = 600 Hz।
2. 1 m लंबी, 10 g द्रव्यमान की डोरी 100 N तनाव में। मूल आवृत्ति?
μ = 0.01 kg/m, v = √(100/0.01) = 100 m/s। f₁ = 100/2 = 50 Hz।
3. 0.85 m लंबा खुला पाइप, ध्वनि की चाल 340 m/s। पहली तीन आवृत्तियाँ?
f₁ = 340/1.7 = 200 Hz; फिर 400 और 600 Hz।
4. उतनी ही लंबाई (0.85 m) का एक सिरा बंद पाइप। पहली तीन आवृत्तियाँ?
f₁ = 340/3.4 = 100 Hz; सिर्फ़ विषम: 100, 300, 500 Hz।
5. अप्रगामी तरंग में दो पास के निस्पंदों की दूरी 15 cm, आवृत्ति 1000 Hz। चाल?
λ/2 = 0.15 → λ = 0.30 m। v = 1000 × 0.3 = 300 m/s।
6. डोरी 480 Hz पर 4 लूप में कंपन करती है। मूल आवृत्ति?
4 लूप = n = 4, f₁ = 480/4 = 120 Hz।
7. बंद पाइप की मूल आवृत्ति खुले पाइप के पहले अधिस्वरक के बराबर है। L_c : L_o?
v/4L_c = 2v/2L_o → L_o = 4L_c, तो 1 : 4।
8. डोरी का तनाव 44% बढ़ाया। मूल आवृत्ति कितने प्रतिशत बदली?
f ∝ √T, √1.44 = 1.2, तो 20% बढ़ी।
आम गलतियाँ
- मानना कि बंद पाइप में सम संनादी होते हैं। सिर्फ़ विषम: 1, 3, 5…
- निस्पंद से निस्पंद की दूरी को λ मानना। यह λ/2 है।
- बंधे सिरे से परावर्तन पर π का कला बदलाव भूल जाना।
- डोरी के लिए v = 340 m/s लेना। डोरी पर v = √(T/μ); 340 m/s हवा में ध्वनि की चाल है।