Sistema de referencia: ¿desde dónde mides?
El movimiento siempre es relativo. Para decir dónde está algo necesitamos un sistema de referencia: un origen (punto cero), un sentido positivo elegido y un reloj para leer el tiempo.
Un pasajero sentado en un tren en marcha está en reposo respecto al tren, pero se mueve respecto al andén. Las dos respuestas son correctas; usan sistemas distintos.
En una recta, un solo número x (con signo) da la posición. El desplazamiento Δx = x₂ − x₁ es el cambio de posición; la distancia recorrida (longitud de la trayectoria) es todo el camino andado y siempre es positiva.
Movimiento uniforme y no uniforme
Movimiento uniforme: desplazamientos iguales en intervalos de tiempo iguales, por pequeños que sean. La velocidad es constante y la gráfica x–t es una recta.
Movimiento no uniforme: desplazamientos distintos en intervalos de tiempo iguales. La velocidad cambia y la gráfica x–t es curva.
Rapidez y velocidad, media e instantánea
Velocidad media = desplazamiento ÷ tiempo = Δx/Δt. Rapidez media = longitud total recorrida ÷ tiempo. Si vas 100 m y vuelves en 50 s, la velocidad media es 0 pero la rapidez media es 4 m/s.
La velocidad instantánea es la velocidad en un instante: v = lim(Δt→0) Δx/Δt = dx/dt. En la gráfica x–t es la pendiente de la tangente. La rapidez instantánea es el módulo de la velocidad instantánea.
La rapidez media siempre es ≥ el módulo de la velocidad media; solo son iguales si el objeto nunca da marcha atrás.
Derivadas e integrales sencillas para el movimiento
Solo necesitas unas pocas reglas: d/dt(tⁿ) = n tⁿ⁻¹, d/dt(constante) = 0 y ∫tⁿ dt = tⁿ⁺¹/(n + 1) + C.
- x = 5t² → v = dx/dt = 10t → a = dv/dt = 10 m/s².
- a = 4 → v = ∫4 dt = 4t + u → x = ∫v dt = 2t² + ut + x₀.
Derivar va de x → v → a (pendientes). Integrar va de a → v → x (áreas), y los valores iniciales u y x₀ completan las constantes.
Aceleración y movimiento uniformemente acelerado
La aceleración es la rapidez con que cambia la velocidad: a media = Δv/Δt, a instantánea = dv/dt (unidad m/s²). Cuando a es igual en todo instante, el movimiento es uniformemente acelerado; un cuerpo en caída libre cerca de la Tierra es el mejor ejemplo (a = g ≈ 9.8 m/s², hacia abajo).
Una a negativa no siempre significa que el cuerpo frena. Solo frena cuando v y a tienen signos opuestos.
Gráficas posición–tiempo y velocidad–tiempo
- Gráfica x–t: pendiente = velocidad. Recta → velocidad uniforme; curva que sube cada vez más → acelera en sentido +; línea horizontal → en reposo.
- Gráfica v–t: pendiente = aceleración; área entre la gráfica y el eje del tiempo = desplazamiento (el área bajo el eje cuenta como negativa).
- Gráfica a–t: área = cambio de velocidad.
Una gráfica nunca puede mostrar dos posiciones en el mismo instante, y la rapidez nunca es negativa.
Ecuaciones del movimiento con gráficas y con cálculo
Método gráfico (recta v–t de u a v)
Pendiente: a = (v − u)/t → v = u + at. Área = rectángulo ut + triángulo ½·t·(at) → s = ut + ½at². Área como trapecio s = ½(u + v)t; si pones t = (v − u)/a → v² = u² + 2as.
Método con cálculo
dv/dt = a → ∫ᵤᵛ dv = ∫₀ᵗ a dt → v = u + at. dx/dt = u + at → ∫dx = ∫(u + at)dt → x − x₀ = ut + ½at². Además a = v dv/dx → ∫v dv = ∫a dx → v² − u² = 2a(x − x₀).
Distancia en el n-ésimo segundo: sₙ = u + a(2n − 1)/2. Estas ecuaciones solo valen cuando a es constante.
Fórmulas y definiciones clave
- v = dx/dt, a = dv/dt = v·dv/dx
- v = u + at
- s = ut + ½at²
- v² = u² + 2as
- s = ½(u + v)t, sₙ = u + a(2n − 1)/2
- Velocidad media = Δx/Δt; rapidez media = longitud recorrida/tiempo
Ejemplos resueltos
1. Un corredor da una vuelta de 400 m a una pista circular y vuelve al punto de partida en 80 s. Calcula la rapidez media y la velocidad media.
Paso 1: longitud recorrida = 400 m, desplazamiento = 0. Paso 2: rapidez media = 400/80 = 5 m/s. Paso 3: velocidad media = 0/80 = 0.
2. La posición de una partícula es x = 3t² − 2t + 4 (x en m, t en s). Calcula la velocidad y la aceleración en t = 2 s.
Paso 1: v = dx/dt = 6t − 2. Paso 2: en t = 2 s, v = 12 − 2 = 10 m/s. Paso 3: a = dv/dt = 6 m/s² (constante).
3. Un coche parte del reposo con a = 2 m/s². Calcula su velocidad y la distancia recorrida después de 5 s.
Paso 1: u = 0, a = 2, t = 5. Paso 2: v = u + at = 0 + 10 = 10 m/s. Paso 3: s = ut + ½at² = 0 + ½ × 2 × 25 = 25 m.
4. Una moto que va a 20 m/s frena con una desaceleración de 5 m/s². ¿Qué distancia recorre antes de detenerse?
Paso 1: u = 20, v = 0, a = −5. Paso 2: v² = u² + 2as → 0 = 400 − 10s. Paso 3: s = 40 m.
5. Se suelta una pelota desde un edificio de 45 m de altura (g = 10 m/s²). Calcula el tiempo que tarda en llegar al suelo y su rapidez al chocar con él.
Paso 1: tomamos el sentido hacia abajo como positivo: u = 0, a = 10, s = 45. Paso 2: s = ½gt² → 45 = 5t² → t = 3 s. Paso 3: v = gt = 30 m/s.
6. Una gráfica v–t es una recta que va de 4 m/s en t = 0 a 16 m/s en t = 6 s. Calcula la aceleración y el desplazamiento.
Paso 1: a = pendiente = (16 − 4)/6 = 2 m/s². Paso 2: desplazamiento = área del trapecio = ½(4 + 16) × 6 = 60 m. Paso 3: comprobación: s = ut + ½at² = 24 + 36 = 60 m ✓.
7. Un cuerpo con u = 3 m/s y a = 2 m/s² se mueve en línea recta. Calcula la distancia recorrida en el 5.º segundo.
Paso 1: sₙ = u + a(2n − 1)/2. Paso 2: s₅ = 3 + 2 × 9/2 = 3 + 9 = 12 m. Paso 3: comprobación: s(5) − s(4) = (15 + 25) − (12 + 16) = 40 − 28 = 12 m ✓.
8. La aceleración de una partícula es a = 6t m/s². Parte del reposo en x = 0. Calcula v y x en t = 2 s.
Paso 1: a no es constante, así que usamos cálculo, no v = u + at. Paso 2: v = ∫₀ᵗ 6t dt = 3t² → v(2) = 12 m/s. Paso 3: x = ∫₀ᵗ 3t² dt = t³ → x(2) = 8 m.
Errores comunes
- Usar v = u + at o s = ut + ½at² cuando la aceleración cambia con el tiempo. En ese caso usa cálculo.
- Tratar la distancia y el desplazamiento como si fueran lo mismo. Son distintos cuando el cuerpo da marcha atrás.
- Olvidar los signos: si eliges arriba (o la derecha) como positivo, g vale −9.8 m/s² en un movimiento hacia arriba.
- Leer el área bajo una gráfica x–t como desplazamiento. Solo el área bajo una gráfica v–t da el desplazamiento.