Référentiel : à partir d'où mesure-t-on ?
Le mouvement est toujours relatif. Pour dire où se trouve un objet, il faut un référentiel : une origine (le zéro), un sens positif choisi et une horloge pour lire le temps.
Un passager assis dans un train en marche est au repos par rapport au train, mais en mouvement par rapport au quai. Les deux réponses sont justes ; elles utilisent des référentiels différents.
Sur une droite, un seul nombre x (avec un signe) donne la position. Le déplacement Δx = x₂ − x₁ est le changement de position ; la distance parcourue est le trajet total, toujours positive.
Mouvement uniforme et non uniforme
Mouvement uniforme : des déplacements égaux pendant des durées égales, même très courtes. La vitesse est constante et le graphe x–t est une droite.
Mouvement non uniforme : des déplacements inégaux pendant des durées égales. La vitesse change et le graphe x–t est une courbe.
Vitesse moyenne et instantanée
Vitesse moyenne (vectorielle) = déplacement ÷ durée = Δx/Δt. Vitesse moyenne (scalaire, « speed ») = longueur du trajet ÷ durée. Si tu fais 100 m puis reviens en 50 s, la vitesse moyenne vectorielle est 0, mais la vitesse moyenne scalaire est 4 m/s.
La vitesse instantanée est la vitesse à un instant précis : v = lim(Δt→0) Δx/Δt = dx/dt. Sur le graphe x–t, c'est la pente de la tangente. La valeur de la vitesse instantanée (sa norme) est la vitesse scalaire instantanée.
La vitesse scalaire moyenne est toujours ≥ la norme de la vitesse moyenne vectorielle ; elles sont égales seulement si l'objet ne fait jamais demi-tour.
Dérivation et intégration simples pour le mouvement
Il suffit de quelques règles : d/dt(tⁿ) = n tⁿ⁻¹, d/dt(constante) = 0, et ∫tⁿ dt = tⁿ⁺¹/(n + 1) + C.
- x = 5t² → v = dx/dt = 10t → a = dv/dt = 10 m/s².
- a = 4 → v = ∫4 dt = 4t + u → x = ∫v dt = 2t² + ut + x₀.
Dériver va de x → v → a (pentes). Intégrer va de a → v → x (aires), et les valeurs de départ u et x₀ donnent les constantes.
Accélération et mouvement uniformément accéléré
L'accélération est la vitesse de variation de la vitesse : a moyenne = Δv/Δt, a instantanée = dv/dt (unité m/s²). Quand a est la même à chaque instant, le mouvement est uniformément accéléré ; la chute libre près de la Terre en est le meilleur exemple (a = g ≈ 9.8 m/s², vers le bas).
Un a négatif ne veut pas toujours dire que l'objet ralentit. L'objet ralentit seulement quand v et a ont des signes opposés.
Graphes position–temps et vitesse–temps
- Graphe x–t : pente = vitesse. Droite → vitesse uniforme ; courbe qui monte de plus en plus → accélération dans le sens +; droite horizontale → repos.
- Graphe v–t : pente = accélération ; aire entre le graphe et l'axe du temps = déplacement (l'aire sous l'axe compte négativement).
- Graphe a–t : aire = variation de la vitesse.
Un graphe ne peut jamais montrer deux positions au même instant, et la vitesse scalaire n'est jamais négative.
Équations du mouvement par les graphes et par le calcul
Méthode graphique (droite v–t de u à v)
Pente : a = (v − u)/t → v = u + at. Aire = rectangle ut + triangle ½·t·(at) → s = ut + ½at². Aire du trapèze s = ½(u + v)t ; en remplaçant t = (v − u)/a → v² = u² + 2as.
Méthode par le calcul
dv/dt = a → ∫ᵤᵛ dv = ∫₀ᵗ a dt → v = u + at. dx/dt = u + at → ∫dx = ∫(u + at)dt → x − x₀ = ut + ½at². Aussi a = v dv/dx → ∫v dv = ∫a dx → v² − u² = 2a(x − x₀).
Distance parcourue pendant la n-ième seconde : sₙ = u + a(2n − 1)/2. Ces équations ne marchent que si a est constante.
Formules et définitions clés
- v = dx/dt, a = dv/dt = v·dv/dx
- v = u + at
- s = ut + ½at²
- v² = u² + 2as
- s = ½(u + v)t, sₙ = u + a(2n − 1)/2
- Vitesse moyenne = Δx/Δt ; vitesse scalaire moyenne = longueur du trajet/durée
Exemples résolus
1. Un coureur fait un tour de piste circulaire de 400 m et revient au départ en 80 s. Trouve la vitesse scalaire moyenne et la vitesse moyenne vectorielle.
Étape 1 : longueur du trajet = 400 m, déplacement = 0. Étape 2 : vitesse scalaire moyenne = 400/80 = 5 m/s. Étape 3 : vitesse moyenne vectorielle = 0/80 = 0.
2. La position d'une particule est x = 3t² − 2t + 4 (x en m, t en s). Trouve la vitesse et l'accélération à t = 2 s.
Étape 1 : v = dx/dt = 6t − 2. Étape 2 : à t = 2 s, v = 12 − 2 = 10 m/s. Étape 3 : a = dv/dt = 6 m/s² (constante).
3. Une voiture démarre du repos avec a = 2 m/s². Trouve sa vitesse et la distance parcourue après 5 s.
Étape 1 : u = 0, a = 2, t = 5. Étape 2 : v = u + at = 0 + 10 = 10 m/s. Étape 3 : s = ut + ½at² = 0 + ½ × 2 × 25 = 25 m.
4. Une moto roulant à 20 m/s freine avec une décélération de 5 m/s². Quelle distance parcourt-elle avant de s'arrêter ?
Étape 1 : u = 20, v = 0, a = −5. Étape 2 : v² = u² + 2as → 0 = 400 − 10s. Étape 3 : s = 40 m.
5. On lâche une balle du haut d'un immeuble de 45 m (g = 10 m/s²). Trouve la durée de la chute et la vitesse à l'arrivée au sol.
Étape 1 : sens positif vers le bas : u = 0, a = 10, s = 45. Étape 2 : s = ½gt² → 45 = 5t² → t = 3 s. Étape 3 : v = gt = 30 m/s.
6. Un graphe v–t est une droite qui va de 4 m/s à t = 0 jusqu'à 16 m/s à t = 6 s. Trouve l'accélération et le déplacement.
Étape 1 : a = pente = (16 − 4)/6 = 2 m/s². Étape 2 : déplacement = aire du trapèze = ½(4 + 16) × 6 = 60 m. Étape 3 : vérification : s = ut + ½at² = 24 + 36 = 60 m ✓.
7. Un corps avec u = 3 m/s et a = 2 m/s² se déplace en ligne droite. Trouve la distance parcourue pendant la 5e seconde.
Étape 1 : sₙ = u + a(2n − 1)/2. Étape 2 : s₅ = 3 + 2 × 9/2 = 3 + 9 = 12 m. Étape 3 : vérification : s(5) − s(4) = (15 + 25) − (12 + 16) = 40 − 28 = 12 m ✓.
8. L'accélération d'une particule est a = 6t m/s². Elle part du repos en x = 0. Trouve v et x à t = 2 s.
Étape 1 : a n'est pas constante, donc on utilise le calcul et non v = u + at. Étape 2 : v = ∫₀ᵗ 6t dt = 3t² → v(2) = 12 m/s. Étape 3 : x = ∫₀ᵗ 3t² dt = t³ → x(2) = 8 m.
Erreurs fréquentes
- Utiliser v = u + at ou s = ut + ½at² quand l'accélération change avec le temps. Il faut alors utiliser le calcul.
- Confondre distance et déplacement. Ils sont différents quand le corps fait demi-tour.
- Oublier les signes : si tu choisis le haut (ou la droite) comme sens positif, g vaut −9.8 m/s² pour un mouvement vers le haut.
- Lire l'aire sous un graphe x–t comme un déplacement. Seule l'aire sous un graphe v–t donne le déplacement.