Mouvement périodique et oscillatoire
Un mouvement qui se répète après des durées égales est périodique. La Terre qui tourne autour du Soleil et les aiguilles d'une horloge sont périodiques.
Si l'objet va aussi et vient autour d'un point central (la position moyenne ou d'équilibre), le mouvement est oscillatoire. Toute oscillation est périodique, mais tout mouvement périodique n'est pas une oscillation (l'aiguille d'une horloge tourne, elle ne va pas et vient).
- Période T : durée d'une oscillation complète. Unité : seconde (s).
- Fréquence f : nombre d'oscillations en une seconde. f = 1/T. Unité : hertz (Hz) ; 1 Hz = 1 oscillation par seconde.
- Pulsation ω = 2πf = 2π/T. Unité : rad/s.
Le déplacement en fonction du temps
Le déplacement x est la distance de l'objet au centre, avec un signe (+ d'un côté, − de l'autre). Dans un MHS, x varie avec le temps comme une sinusoïde (ou une cosinusoïde) :
x(t) = A sin(ωt + φ)
- A = amplitude = le plus grand déplacement.
- ω = pulsation.
- φ = phase à l'origine (phase initiale) : elle fixe où se trouvait l'objet à t = 0.
Un sinus et un cosinus sont la même courbe, simplement décalée. Donc x = A cos(ωt + φ′) est tout aussi juste, avec un autre φ′.
Le MHS, son équation et le cercle de référence
Le mouvement harmonique simple est un va-et-vient dans lequel la force de rappel (celle qui ramène vers le centre) est proportionnelle au déplacement et de sens opposé :
F = −kx donc a = −ω²x, avec ω = √(k/m).
Le signe moins veut dire que la force pointe toujours vers le centre. Forme différentielle : d²x/dt² + ω²x = 0.
Cercle de référence : si un point tourne sur un cercle de rayon A à vitesse angulaire constante ω, son ombre sur un diamètre fait un MHS. C'est pourquoi le même ω apparaît dans le mouvement circulaire et dans le MHS.
Vitesse et accélération
- v = dx/dt = Aω cos(ωt + φ) = ±ω√(A² − x²). Maximale (Aω) au centre, nulle aux extrémités.
- a = dv/dt = −Aω² sin(ωt + φ) = −ω²x. Maximale (Aω²) aux extrémités, nulle au centre.
Phase et déphasage
L'angle entier (ωt + φ) s'appelle la phase. Elle donne l'état du mouvement : où se trouve l'objet et dans quel sens il va.
- Phase 0 : au centre, vers +x.
- Phase π/2 : en +A, arrêt un instant.
- Phase π : de retour au centre, vers −x.
- Phase 3π/2 : en −A.
Deux MHS de même ω ont un déphasage Δφ. Si Δφ = 0, ils bougent ensemble (en phase) ; si Δφ = π, ils vont toujours en sens contraire (en opposition de phase). La vitesse est en avance de π/2 sur le déplacement, et l'accélération est en opposition de phase (π) avec le déplacement.
Énergie dans un MHS
Un oscillateur échange de l'énergie entre deux formes et garde le total fixe (sans frottement) :
- Énergie cinétique K = ½mv² = ½k(A² − x²)
- Énergie potentielle U = ½kx²
- Énergie totale E = K + U = ½kA² = ½mω²A² (constante)
En x = 0 : K = E, U = 0. En x = ±A : K = 0, U = E. K = U quand x = A/√2. K et U se répètent deux fois par période, donc leur période est T/2.
À toi de jouer : un pendule à la maison
Attache une clé ou un petit caillou à un fil de 1 m et laisse-le osciller un peu. Avec le chronomètre de ton téléphone, mesure la durée de 20 oscillations complètes. Divise par 20 pour obtenir T. Calcule ensuite f = 1/T. Relance maintenant avec une plus grande amplitude (toujours petite) : T ne change presque pas. C'est un signe de MHS. Dans la 3D ci-dessus, bouge le curseur A et vérifie que T reste le même aussi.
Formules et définitions clés
- f = 1/T, ω = 2πf = 2π/T
- x = A sin(ωt + φ)
- F = −kx, a = −ω²x, ω = √(k/m)
- v = ω√(A² − x²), v_max = Aω, a_max = Aω²
- K = ½k(A² − x²), U = ½kx², E = ½kA² = ½mω²A²
Exemples résolus
1. Un pendule fait 40 oscillations en 20 s. Trouve sa période, sa fréquence et sa pulsation.
T = 20/40 = 0.5 s. f = 1/T = 2 Hz. ω = 2πf = 4π ≈ 12.6 rad/s.
2. x = 0.05 sin(10πt + π/6) m. Trouve l'amplitude, la fréquence, la période et la phase initiale.
On compare avec x = A sin(ωt + φ) : A = 0.05 m, ω = 10π rad/s, donc f = ω/2π = 5 Hz, T = 0.2 s, φ = π/6.
3. Un corps en MHS a A = 4 cm et T = 2 s. Trouve la vitesse maximale et l'accélération maximale.
ω = 2π/T = π rad/s. v_max = Aω = 0.04 × π ≈ 0.126 m/s. a_max = Aω² = 0.04 × π² ≈ 0.395 m/s².
4. Pour le corps de l'exemple précédent, trouve la vitesse quand x = 2 cm.
v = ω√(A² − x²) = π√(0.04² − 0.02²) = π√(0.0012) ≈ π × 0.0346 ≈ 0.109 m/s.
5. Une masse de 0.2 kg fait un MHS avec ω = 5 rad/s et A = 0.1 m. Trouve l'énergie totale et l'énergie cinétique en x = 0.06 m.
k = mω² = 0.2 × 25 = 5 N/m. E = ½kA² = ½ × 5 × 0.01 = 0.025 J. U = ½ × 5 × 0.0036 = 0.009 J, donc K = 0.025 − 0.009 = 0.016 J.
6. Pour quel déplacement l'énergie cinétique est-elle égale à l'énergie potentielle ?
K = U veut dire ½k(A² − x²) = ½kx², donc A² = 2x² et x = ±A/√2 ≈ ±0.71A.
7. Deux MHS : x₁ = 3 sin(ωt) et x₂ = 3 cos(ωt). Trouve le déphasage.
cos(ωt) = sin(ωt + π/2), donc x₂ est en avance de π/2 (90°) sur x₁. Quand l'un est au centre, l'autre est à une extrémité.
8. Lequel est un MHS : (a) a = −9x, (b) a = −9x², (c) a = 9x ?
Seulement (a) : l'accélération est proportionnelle à x et de sens opposé ; ω = √9 = 3 rad/s, T = 2π/3 s. (b) n'est pas proportionnelle à x, (c) pointe en s'éloignant du centre.
Erreurs fréquentes
- Croire que tout mouvement périodique est un MHS. L'aiguille d'une horloge est périodique mais ne va pas et vient ; un MHS demande aussi F ∝ −x.
- Confondre f et ω. ω = 2πf, donc un mouvement de 2 Hz a ω ≈ 12.6 rad/s, pas 2.
- Croire que la vitesse est maximale aux extrémités. Aux extrémités, le corps s'arrête un instant ; la vitesse est maximale au centre.
- Oublier de convertir les cm en m avant d'utiliser E = ½kA². 5 cm = 0.05 m.