Periodische Bewegung und Schwingung
Eine Bewegung, die sich nach gleich langen Zeitabständen wiederholt, ist periodisch. Die Erde auf ihrer Bahn um die Sonne und die Zeiger einer Uhr bewegen sich periodisch.
Bewegt sich der Körper außerdem hin und her um eine Mitte (die Mittellage oder Gleichgewichtslage), nennt man die Bewegung eine Schwingung. Jede Schwingung ist periodisch, aber nicht jede periodische Bewegung ist eine Schwingung (ein Uhrzeiger dreht sich im Kreis, er pendelt nicht hin und her).
- Periode T: Zeit für eine volle Schwingung. Einheit: Sekunde (s).
- Frequenz f: Anzahl der Schwingungen in einer Sekunde. f = 1/T. Einheit: Hertz (Hz); 1 Hz = 1 Schwingung pro Sekunde.
- Kreisfrequenz ω = 2πf = 2π/T. Einheit: rad/s.
Die Auslenkung in Abhängigkeit von der Zeit
Die Auslenkung x sagt, wie weit der Körper von der Mitte entfernt ist, mit Vorzeichen (+ auf der einen Seite, − auf der anderen). Bei der harmonischen Schwingung ändert sich x mit der Zeit wie eine Sinus- (oder Kosinus-)Welle:
x(t) = A sin(ωt + φ)
- A = Amplitude = die größte Auslenkung.
- ω = Kreisfrequenz.
- φ = Phasenkonstante (Anfangsphase): Sie legt fest, wo der Körper zur Zeit t = 0 war.
Sinus und Kosinus sind dieselbe Kurve, nur verschoben. Deshalb ist x = A cos(ωt + φ′) mit einem anderen φ′ genauso richtig.
Harmonische Schwingung, ihre Gleichung und der Referenzkreis
Eine harmonische Schwingung ist eine Hin-und-her-Bewegung, bei der die rücktreibende Kraft (der Zug zurück zur Mitte) proportional zur Auslenkung ist und ihr entgegengesetzt zeigt:
F = −kx also a = −ω²x, mit ω = √(k/m).
Das Minus bedeutet: Die Kraft zeigt immer zur Mitte hin. In Differentialform: d²x/dt² + ω²x = 0.
Referenzkreis: Läuft ein Punkt mit gleichbleibender Winkelgeschwindigkeit ω auf einem Kreis mit Radius A, dann schwingt sein Schatten auf einem Durchmesser harmonisch. Deshalb taucht in der Kreisbewegung und in der Schwingung dasselbe ω auf.
Geschwindigkeit und Beschleunigung
- v = dx/dt = Aω cos(ωt + φ) = ±ω√(A² − x²). Am größten (Aω) in der Mitte, null an den Enden.
- a = dv/dt = −Aω² sin(ωt + φ) = −ω²x. Am größten (Aω²) an den Enden, null in der Mitte.
Phase und Phasendifferenz
Der ganze Winkel (ωt + φ) heißt Phase. Sie beschreibt den Zustand der Bewegung: wo der Körper ist und in welche Richtung er sich bewegt.
- Phase 0: in der Mitte, Bewegung nach +x.
- Phase π/2: bei +A, kurz in Ruhe.
- Phase π: wieder in der Mitte, Bewegung nach −x.
- Phase 3π/2: bei −A.
Zwei Schwingungen mit gleichem ω haben eine Phasendifferenz Δφ. Bei Δφ = 0 bewegen sie sich gemeinsam (in Phase); bei Δφ = π bewegen sie sich immer entgegengesetzt (in Gegenphase). Die Geschwindigkeit eilt der Auslenkung um π/2 voraus, und die Beschleunigung ist um π gegenüber der Auslenkung verschoben.
Energie bei der harmonischen Schwingung
Ein Schwinger tauscht Energie zwischen zwei Formen aus und hält die Summe konstant (ohne Reibung):
- Kinetische Energie K = ½mv² = ½k(A² − x²)
- Potenzielle Energie U = ½kx²
- Gesamtenergie E = K + U = ½kA² = ½mω²A² (konstant)
Bei x = 0: K = E, U = 0. Bei x = ±A: K = 0, U = E. K = U gilt bei x = A/√2. K und U wiederholen sich in einer Periode zweimal, ihre Periode ist also T/2.
Probier es aus: eine Pendeluhr zu Hause
Binde einen Schlüssel oder einen kleinen Stein an einen 1 m langen Faden und lass ihn leicht schwingen. Miss mit der Stoppuhr deines Handys die Zeit für 20 volle Schwingungen. Teile durch 20 und du erhältst T. Dann berechne f = 1/T. Starte nun mit einem größeren (aber immer noch kleinen) Ausschlag: T ändert sich kaum. Das ist ein Zeichen für eine harmonische Schwingung. Verschiebe im 3D-Bild oben den Regler für A und prüfe, dass auch dort T gleich bleibt.
Wichtige Formeln und Definitionen
- f = 1/T, ω = 2πf = 2π/T
- x = A sin(ωt + φ)
- F = −kx, a = −ω²x, ω = √(k/m)
- v = ω√(A² − x²), v_max = Aω, a_max = Aω²
- K = ½k(A² − x²), U = ½kx², E = ½kA² = ½mω²A²
Gelöste Beispiele
1. Ein Pendel macht in 20 s 40 Schwingungen. Bestimme Periode, Frequenz und Kreisfrequenz.
T = 20/40 = 0.5 s. f = 1/T = 2 Hz. ω = 2πf = 4π ≈ 12.6 rad/s.
2. x = 0.05 sin(10πt + π/6) m. Bestimme Amplitude, Frequenz, Periode und Anfangsphase.
Vergleich mit x = A sin(ωt + φ): A = 0.05 m, ω = 10π rad/s, also f = ω/2π = 5 Hz, T = 0.2 s, φ = π/6.
3. Ein Körper schwingt harmonisch mit A = 4 cm und T = 2 s. Bestimme die maximale Geschwindigkeit und die maximale Beschleunigung.
ω = 2π/T = π rad/s. v_max = Aω = 0.04 × π ≈ 0.126 m/s. a_max = Aω² = 0.04 × π² ≈ 0.395 m/s².
4. Bestimme für den Körper aus dem letzten Beispiel die Geschwindigkeit bei x = 2 cm.
v = ω√(A² − x²) = π√(0.04² − 0.02²) = π√(0.0012) ≈ π × 0.0346 ≈ 0.109 m/s.
5. Eine Masse von 0.2 kg schwingt harmonisch mit ω = 5 rad/s und A = 0.1 m. Bestimme die Gesamtenergie und die kinetische Energie bei x = 0.06 m.
k = mω² = 0.2 × 25 = 5 N/m. E = ½kA² = ½ × 5 × 0.01 = 0.025 J. U = ½ × 5 × 0.0036 = 0.009 J, also K = 0.025 − 0.009 = 0.016 J.
6. Bei welcher Auslenkung ist die kinetische Energie gleich der potenziellen Energie?
K = U heißt ½k(A² − x²) = ½kx², also A² = 2x² und x = ±A/√2 ≈ ±0.71A.
7. Zwei Schwingungen: x₁ = 3 sin(ωt) und x₂ = 3 cos(ωt). Bestimme die Phasendifferenz.
cos(ωt) = sin(ωt + π/2), also eilt x₂ der Schwingung x₁ um π/2 (90°) voraus. Wenn die eine in der Mitte ist, ist die andere an einem Umkehrpunkt.
8. Welche davon ist eine harmonische Schwingung: (a) a = −9x, (b) a = −9x², (c) a = 9x?
Nur (a): Die Beschleunigung ist proportional zu x und ihm entgegengesetzt; ω = √9 = 3 rad/s, T = 2π/3 s. Bei (b) ist sie nicht proportional zu x, bei (c) zeigt sie von der Mitte weg.
Häufige Fehler
- Zu glauben, jede periodische Bewegung sei eine harmonische Schwingung. Ein Uhrzeiger ist periodisch, pendelt aber nicht hin und her; außerdem muss F ∝ −x gelten.
- f und ω verwechseln. ω = 2πf, eine Bewegung mit 2 Hz hat also ω ≈ 12.6 rad/s und nicht 2.
- Zu glauben, die Geschwindigkeit sei an den Enden am größten. An den Enden steht der Körper kurz still; am schnellsten ist er in der Mitte.
- Vergessen, cm vor der Rechnung mit E = ½kA² in m umzurechnen. 5 cm = 0.05 m.