Was ist Bewegung?
Ein Körper ist in Bewegung, wenn sich sein Ort mit der Zeit ändert. Ein Körper ist in Ruhe, wenn sich sein Ort nicht ändert.
Um zu sagen, wo etwas ist, brauchen wir einen Bezugspunkt (auch Ursprung genannt). Zum Beispiel: „Die Schule liegt 2 km nördlich vom Busbahnhof.“ Hier ist der Busbahnhof der Bezugspunkt.
Bewegung hängt vom Beobachter ab. Eine Frau, die in einem fahrenden Bus sitzt, ist für die Person neben ihr in Ruhe, aber für einen Menschen an der Straße in Bewegung.
In dieser Lektion untersuchen wir Bewegung auf einer geraden Linie.
Weg und Verschiebung
Der Weg ist die gesamte Länge der Strecke. Er hat nur eine Größe (Betrag). Eine Größe nur mit Betrag heißt Skalar.
Die Verschiebung ist der kürzeste gerade Abstand vom Startpunkt zum Endpunkt, mit seiner Richtung. Eine Größe mit Betrag und Richtung heißt Vektor.
- Der Weg ist nie negativ. Die Verschiebung kann positiv, negativ oder null sein.
- Wenn du zum Start zurückkommst, ist die Verschiebung = 0, aber der Weg ist nicht 0.
- Die Verschiebung kann nie größer sein als der Weg.
Beispiel: Du gehst 40 m nach Osten und dann 15 m nach Westen. Weg = 55 m. Verschiebung = 25 m nach Osten.
SI-Einheit von beiden: Meter (m).
Gleichförmige und ungleichförmige Bewegung
Bei gleichförmiger Bewegung legt ein Körper in gleichen Zeiten gleiche Strecken zurück, egal wie klein die Zeitabschnitte sind. In der 3D-Szene haben die Punkte, die jede Sekunde gesetzt werden, gleiche Abstände.
Bei ungleichförmiger Bewegung legt er in gleichen Zeiten ungleiche Strecken zurück, wie ein Bus im Stadtverkehr.
Geschwindigkeit als Tempo und als Vektor
Das Tempo (Bahngeschwindigkeit) = Weg ÷ Zeit. Es sagt, wie schnell. Es ist ein Skalar.
Die Geschwindigkeit (als Vektor) = Verschiebung ÷ Zeit. Sie sagt, wie schnell und in welche Richtung. Sie ist ein Vektor.
SI-Einheit von beiden: m/s (auch m s⁻¹ geschrieben). Ebenfalls üblich: km/h. Um km/h in m/s umzurechnen, multipliziere mit 5/18. Beispiel: 72 km/h = 72 × 5/18 = 20 m/s.
Durchschnittliches Tempo = gesamter Weg ÷ gesamte Zeit.
Durchschnittsgeschwindigkeit = gesamte Verschiebung ÷ gesamte Zeit. Wenn sich die Geschwindigkeit gleichmäßig ändert, gilt: Durchschnittsgeschwindigkeit = (u + v) ÷ 2, wobei u die Startgeschwindigkeit und v die Endgeschwindigkeit ist.
Die Geschwindigkeit ändert sich, wenn sich das Tempo ändert, oder die Richtung, oder beides. Ein Auto, das mit gleichbleibendem Tempo auf einer Kreisbahn fährt, hat trotzdem eine veränderliche Geschwindigkeit, weil sich seine Richtung dauernd ändert (das ist die gleichförmige Kreisbewegung).
Beschleunigung
Die Beschleunigung sagt, wie schnell sich die Geschwindigkeit ändert.
a = (v − u) ÷ t
Dabei ist u = Startgeschwindigkeit (Anfangsgeschwindigkeit), v = Endgeschwindigkeit, t = benötigte Zeit. SI-Einheit: m/s².
- Wenn die Geschwindigkeit zunimmt, ist a positiv (in Bewegungsrichtung).
- Wenn die Geschwindigkeit abnimmt, ist a negativ. Das nennt man Verzögerung (Abbremsen), zum Beispiel bei einem bremsenden Auto.
- Gleichmäßige Beschleunigung: Die Geschwindigkeit ändert sich in gleichen Zeiten um gleiche Beträge (ein frei fallender Stein, ein Auto, das gleichmäßig schneller wird).
- Ungleichmäßige Beschleunigung: Die Geschwindigkeit ändert sich in gleichen Zeiten um ungleiche Beträge (ein Auto im Stadtverkehr).
Weg-Zeit-Diagramme
Trage die Zeit auf der x-Achse und den Weg auf der y-Achse ab.
- Körper in Ruhe: eine waagerechte Linie.
- Gleichmäßiges Tempo: eine schräge Gerade. Die Steigung (Höhe ÷ Länge) = Tempo. Eine steilere Linie bedeutet einen schnelleren Körper.
- Schneller werden: eine Kurve, die immer steiler wird (die graue Linie und die blaue Kurve in der 3D-Szene).
Um das Tempo aus dem Diagramm zu finden, wähle zwei Punkte (t₁, s₁) und (t₂, s₂). Tempo = (s₂ − s₁) ÷ (t₂ − t₁).
Geschwindigkeit-Zeit-Diagramme
Trage die Zeit auf der x-Achse und die Geschwindigkeit auf der y-Achse ab.
- Konstante Geschwindigkeit: eine waagerechte Linie. Die Fläche darunter (ein Rechteck) = Geschwindigkeit × Zeit = Weg.
- Gleichmäßige Beschleunigung: eine schräge Gerade. Ihre Steigung = Beschleunigung.
- Gleichmäßige Verzögerung: eine Gerade, die nach unten geht.
- Ungleichmäßige Beschleunigung: eine Kurve.
Die Fläche unter einem v–t-Diagramm = Verschiebung (Weg bei Bewegung in nur eine Richtung). Für ein Auto, das aus dem Stand in 7 s auf 14 m/s kommt, ist die Fläche = ½ × 7 × 14 = 49 m.
Bewegungsgleichungen (grafische Herleitung)
Für Bewegung auf einer Geraden mit gleichmäßiger Beschleunigung bekommen wir drei Gleichungen. Nimm ein v–t-Diagramm: Die Linie startet bei der Geschwindigkeit u (bei t = 0) und erreicht nach der Zeit t den Wert v.
1. Beziehung Geschwindigkeit–Zeit: v = u + at
Steigung der Linie = a = (v − u) ÷ t. Umformen ergibt v = u + at.
2. Beziehung Ort–Zeit: s = ut + ½at²
Weg = Fläche unter der Linie = Rechteck (u × t) + Dreieck (½ × t × (v − u)). Da v − u = at, gilt s = ut + ½ × t × at = ut + ½at².
3. Beziehung Ort–Geschwindigkeit: v² = u² + 2as
Die Fläche ist ein Trapez: s = ½ × (u + v) × t. Setze t = (v − u) ÷ a ein: s = (v + u)(v − u) ÷ 2a = (v² − u²) ÷ 2a. Also v² = u² + 2as.
Tipps: „Startet aus der Ruhe“ bedeutet u = 0. „Kommt zum Stehen“ oder „hält an“ bedeutet v = 0. Beim Bremsen ist a negativ. Rechne alle Größen in m, s und m/s.
Probier es aus: Miss dein eigenes Tempo
Markiere eine gerade Strecke von 20 m auf deiner Straße oder auf dem Sportplatz (etwa 26 große Schritte, oder nimm ein Maßband). Bitte einen Freund, dich mit der Stoppuhr am Handy zu stoppen.
- Geh die 20 m. Notiere die Zeit. Tempo = 20 ÷ Zeit.
- Jetzt renne die Strecke. Ist dein Tempo größer?
- Bitte deinen Freund, alle 2 Sekunden deinen Ort zu rufen, und zeichne dein eigenes Weg-Zeit-Diagramm. Ist es eine Gerade?
Im freien Spiel der 3D-Szene: Schätze zuerst. Mit u = 0 und a = 2 m/s², wie weit fährt das Auto in 5 s? Dann prüfe nach (Antwort: 25 m).
Wichtige Formeln und Definitionen
- Tempo = Weg ÷ Zeit; Geschwindigkeit = Verschiebung ÷ Zeit
- Durchschnittliches Tempo = gesamter Weg ÷ gesamte Zeit
- Durchschnittsgeschwindigkeit (gleichmäßige Beschleunigung) = (u + v) ÷ 2
- Beschleunigung a = (v − u) ÷ t (Einheit m/s²)
- v = u + at
- s = ut + ½at²
- v² = u² + 2as
- km/h → m/s: mal 5/18; m/s → km/h: mal 18/5
- Steigung im s–t-Diagramm = Tempo; Steigung im v–t-Diagramm = Beschleunigung; Fläche unter dem v–t-Diagramm = Verschiebung
Gelöste Beispiele
1. Ein Mädchen geht 300 m nach Norden zu einem Laden und dann 100 m nach Süden zum Haus einer Freundin. Finde den Weg und die Verschiebung.
Weg = 300 + 100 = 400 m. Verschiebung = 300 − 100 = 200 m nach Norden.
2. Ein Bus fährt 180 km in 3 Stunden. Finde sein durchschnittliches Tempo in km/h und in m/s.
Durchschnittliches Tempo = 180 ÷ 3 = 60 km/h. In m/s: 60 × 5/18 = 16.7 m/s (ungefähr).
3. Ein Läufer läuft einmal um eine Kreisbahn mit dem Radius 35 m in 44 s. Finde den Weg, die Verschiebung und das durchschnittliche Tempo.
Weg = Umfang = 2πr = 2 × 22/7 × 35 = 220 m. Verschiebung = 0 (er ist wieder am Start). Durchschnittliches Tempo = 220 ÷ 44 = 5 m/s. Durchschnittsgeschwindigkeit = 0 ÷ 44 = 0.
4. Ein Roller wird in 4 s von 5 m/s auf 15 m/s schneller. Finde seine Beschleunigung.
a = (v − u) ÷ t = (15 − 5) ÷ 4 = 10 ÷ 4 = 2.5 m/s².
5. Ein Auto startet aus der Ruhe und beschleunigt 7 s lang mit 2 m/s². Finde seine Endgeschwindigkeit und den zurückgelegten Weg.
u = 0, a = 2 m/s², t = 7 s. v = u + at = 0 + 2 × 7 = 14 m/s. s = ut + ½at² = 0 + ½ × 2 × 49 = 49 m. (Kontrolle mit dem v–t-Diagramm: Dreiecksfläche = ½ × 7 × 14 = 49 m.)
6. Ein Auto mit 72 km/h bremst und steht nach 5 s. Finde die Verzögerung und den Bremsweg.
u = 72 × 5/18 = 20 m/s, v = 0, t = 5 s. a = (0 − 20) ÷ 5 = −4 m/s² (Verzögerung 4 m/s²). s = ut + ½at² = 20 × 5 + ½ × (−4) × 25 = 100 − 50 = 50 m.
7. Ein Zug mit 10 m/s beschleunigt gleichmäßig mit 0.5 m/s² auf einer Strecke von 300 m. Wie groß ist seine Geschwindigkeit am Ende?
Nimm v² = u² + 2as = 10² + 2 × 0.5 × 300 = 100 + 300 = 400. v = 20 m/s.
8. In einem v–t-Diagramm steigt die Geschwindigkeit eines Wagens in einer Geraden von 0 auf 6 m/s in 3 s und bleibt dann 4 s lang bei 6 m/s. Finde die Beschleunigung im ersten Teil und den gesamten Weg.
Erster Teil: Steigung = 6 ÷ 3 = 2 m/s². Weg = Fläche = Dreieck + Rechteck = ½ × 3 × 6 + 6 × 4 = 9 + 24 = 33 m.
Häufige Fehler
- Zu denken, dass Weg und Verschiebung immer gleich sind. Sie sind nur gleich, wenn sich der Körper auf einer Geraden in eine Richtung bewegt.
- Zu vergessen, km/h vor dem Benutzen der Gleichungen in m/s umzurechnen. Multipliziere mit 5/18.
- Ein positives a fürs Bremsen zu nehmen. Wenn die Geschwindigkeit abnimmt, setze a mit Minuszeichen.
- Die Steigung im s–t-Diagramm als Beschleunigung zu lesen. Die Steigung im s–t ist das Tempo; die Steigung im v–t ist die Beschleunigung.