Bezugssystem: Von wo aus misst du?
Bewegung ist immer relativ. Um zu sagen, wo etwas ist, brauchen wir ein Bezugssystem: einen Nullpunkt (Ursprung), eine festgelegte positive Richtung und eine Uhr, um die Zeit abzulesen.
Ein Fahrgast im fahrenden Zug ruht im Vergleich zum Zug, bewegt sich aber im Vergleich zum Bahnsteig. Beide Antworten stimmen; sie benutzen nur verschiedene Bezugssysteme.
Auf einer Geraden genügt eine Zahl x (mit Vorzeichen), um den Ort anzugeben. Die Verschiebung Δx = x₂ − x₁ ist die Änderung des Ortes; der zurückgelegte Weg (Weglänge) ist die gesamte Strecke, immer positiv.
Gleichförmige und ungleichförmige Bewegung
Gleichförmige Bewegung: gleiche Verschiebungen in gleichen Zeitabschnitten, egal wie klein sie sind. Die Geschwindigkeit ist konstant und das x–t-Diagramm ist eine Gerade.
Ungleichförmige Bewegung: ungleiche Verschiebungen in gleichen Zeitabschnitten. Die Geschwindigkeit ändert sich und das x–t-Diagramm ist gekrümmt.
Mittlere und momentane Geschwindigkeit
Mittlere Geschwindigkeit (Vektor) = Verschiebung ÷ Zeit = Δx/Δt. Mittlere Bahngeschwindigkeit = gesamte Weglänge ÷ Zeit. Wenn du 100 m hin und in 50 s wieder zurück läufst, ist die mittlere Geschwindigkeit 0, die mittlere Bahngeschwindigkeit aber 4 m/s.
Momentangeschwindigkeit ist die Geschwindigkeit in einem einzigen Augenblick: v = lim(Δt→0) Δx/Δt = dx/dt. Im x–t-Diagramm ist sie die Steigung der Tangente. Der Momentanbetrag (Tempo) ist der Betrag der Momentangeschwindigkeit.
Die mittlere Bahngeschwindigkeit ist immer ≥ dem Betrag der mittleren Geschwindigkeit; beide sind nur gleich, wenn der Körper nie umkehrt.
Einfaches Ableiten und Integrieren für Bewegungen
Du brauchst nur wenige Regeln: d/dt(tⁿ) = n tⁿ⁻¹, d/dt(Konstante) = 0 und ∫tⁿ dt = tⁿ⁺¹/(n + 1) + C.
- x = 5t² → v = dx/dt = 10t → a = dv/dt = 10 m/s².
- a = 4 → v = ∫4 dt = 4t + u → x = ∫v dt = 2t² + ut + x₀.
Ableiten geht x → v → a (Steigungen). Integrieren geht a → v → x (Flächen), und die Anfangswerte u und x₀ legen die Konstanten fest.
Beschleunigung und gleichmäßig beschleunigte Bewegung
Beschleunigung ist die Änderungsrate der Geschwindigkeit: mittlere a = Δv/Δt, momentane a = dv/dt (Einheit m/s²). Ist a in jedem Augenblick gleich, nennt man die Bewegung gleichmäßig beschleunigt; ein frei fallender Körper nahe der Erde ist das beste Beispiel (a = g ≈ 9,8 m/s², nach unten).
Ein negatives a bedeutet nicht immer Abbremsen. Der Körper wird nur langsamer, wenn v und a entgegengesetzte Vorzeichen haben.
Ort-Zeit- und Geschwindigkeit-Zeit-Diagramme
- x–t-Diagramm: Steigung = Geschwindigkeit. Gerade Linie → gleichbleibende Geschwindigkeit; Kurve nach oben gebogen → schneller werdend in + Richtung; waagerechte Linie → in Ruhe.
- v–t-Diagramm: Steigung = Beschleunigung; Fläche zwischen Kurve und Zeitachse = Verschiebung (Fläche unter der Achse zählt negativ).
- a–t-Diagramm: Fläche = Änderung der Geschwindigkeit.
Ein Diagramm kann nie zwei Orte zur selben Zeit zeigen, und das Tempo (Betrag der Geschwindigkeit) kann nie negativ sein.
Bewegungsgleichungen mit Diagrammen und Analysis
Grafische Methode (v–t-Gerade von u bis v)
Steigung: a = (v − u)/t → v = u + at. Fläche = Rechteck ut + Dreieck ½·t·(at) → s = ut + ½at². Fläche als Trapez s = ½(u + v)t; setze t = (v − u)/a ein → v² = u² + 2as.
Methode mit Analysis
dv/dt = a → ∫ᵤᵛ dv = ∫₀ᵗ a dt → v = u + at. dx/dt = u + at → ∫dx = ∫(u + at)dt → x − x₀ = ut + ½at². Außerdem a = v dv/dx → ∫v dv = ∫a dx → v² − u² = 2a(x − x₀).
Weg in der n-ten Sekunde: sₙ = u + a(2n − 1)/2. Diese Gleichungen gelten nur, wenn a konstant ist.
Wichtige Formeln und Definitionen
- v = dx/dt, a = dv/dt = v·dv/dx
- v = u + at
- s = ut + ½at²
- v² = u² + 2as
- s = ½(u + v)t, sₙ = u + a(2n − 1)/2
- Mittlere Geschwindigkeit = Δx/Δt; mittlere Bahngeschwindigkeit = Weglänge/Zeit
Gelöste Beispiele
1. Ein Läufer rennt 400 m um eine Rundbahn und ist nach 80 s wieder am Start. Bestimme die mittlere Bahngeschwindigkeit und die mittlere Geschwindigkeit.
Schritt 1: Weglänge = 400 m, Verschiebung = 0. Schritt 2: mittlere Bahngeschwindigkeit = 400/80 = 5 m/s. Schritt 3: mittlere Geschwindigkeit = 0/80 = 0.
2. Der Ort eines Teilchens ist x = 3t² − 2t + 4 (x in m, t in s). Bestimme Geschwindigkeit und Beschleunigung bei t = 2 s.
Schritt 1: v = dx/dt = 6t − 2. Schritt 2: bei t = 2 s ist v = 12 − 2 = 10 m/s. Schritt 3: a = dv/dt = 6 m/s² (konstant).
3. Ein Auto startet aus der Ruhe mit a = 2 m/s². Bestimme Geschwindigkeit und Strecke nach 5 s.
Schritt 1: u = 0, a = 2, t = 5. Schritt 2: v = u + at = 0 + 10 = 10 m/s. Schritt 3: s = ut + ½at² = 0 + ½ × 2 × 25 = 25 m.
4. Ein Motorrad fährt mit 20 m/s und bremst mit einer Verzögerung von 5 m/s². Wie weit kommt es bis zum Stillstand?
Schritt 1: u = 20, v = 0, a = −5. Schritt 2: v² = u² + 2as → 0 = 400 − 10s. Schritt 3: s = 40 m.
5. Ein Ball wird von einem 45 m hohen Gebäude fallen gelassen (g = 10 m/s²). Bestimme die Fallzeit und die Geschwindigkeit beim Aufprall.
Schritt 1: nach unten positiv: u = 0, a = 10, s = 45. Schritt 2: s = ½gt² → 45 = 5t² → t = 3 s. Schritt 3: v = gt = 30 m/s.
6. Ein v–t-Diagramm verläuft geradlinig von 4 m/s bei t = 0 bis 16 m/s bei t = 6 s. Bestimme die Beschleunigung und die Verschiebung.
Schritt 1: a = Steigung = (16 − 4)/6 = 2 m/s². Schritt 2: Verschiebung = Trapezfläche = ½(4 + 16) × 6 = 60 m. Schritt 3: Kontrolle: s = ut + ½at² = 24 + 36 = 60 m ✓.
7. Ein Körper mit u = 3 m/s und a = 2 m/s² bewegt sich geradlinig. Bestimme den Weg in der 5. Sekunde.
Schritt 1: sₙ = u + a(2n − 1)/2. Schritt 2: s₅ = 3 + 2 × 9/2 = 3 + 9 = 12 m. Schritt 3: Kontrolle: s(5) − s(4) = (15 + 25) − (12 + 16) = 40 − 28 = 12 m ✓.
8. Die Beschleunigung eines Teilchens ist a = 6t m/s². Es startet aus der Ruhe bei x = 0. Bestimme v und x bei t = 2 s.
Schritt 1: a ist nicht konstant, also nimm Analysis statt v = u + at. Schritt 2: v = ∫₀ᵗ 6t dt = 3t² → v(2) = 12 m/s. Schritt 3: x = ∫₀ᵗ 3t² dt = t³ → x(2) = 8 m.
Häufige Fehler
- v = u + at oder s = ut + ½at² benutzen, obwohl sich die Beschleunigung mit der Zeit ändert. Nimm dann Analysis.
- Weg und Verschiebung gleichsetzen. Sie unterscheiden sich, wenn der Körper umkehrt.
- Vorzeichen vergessen: Wenn du oben (oder rechts) als positiv wählst, ist g bei einer Aufwärtsbewegung −9,8 m/s².
- Die Fläche unter einem x–t-Diagramm als Verschiebung lesen. Nur die Fläche unter einem v–t-Diagramm ergibt die Verschiebung.