Das dritte newtonsche Gesetz
Drittes Gesetz: Zu jeder Kraft (Actio) gibt es immer eine gleich große, entgegengesetzte Gegenkraft (Reactio). Einfach gesagt: Wenn Körper A eine Kraft auf Körper B ausübt, übt B eine gleich große Kraft in die Gegenrichtung auf A aus.
FAB = − FBA
- Die beiden Kräfte wirken auf verschiedene Körper, deshalb heben sie sich nie gegenseitig auf. (Sie heben sich nur auf, wenn du A und B zusammen als ein System betrachtest.)
- Sie wirken im selben Augenblick. Keine ist die "erste".
- Sie haben die gleiche Art: beide sind Berührungskräfte, beide sind Gravitationskräfte und so weiter.
Ein Buch auf einem Tisch: Die Erde zieht das Buch nach unten (Gewichtskraft) und das Buch zieht die Erde nach oben. Das ist ein Paar. Das Buch drückt auf den Tisch und der Tisch drückt das Buch nach oben (Normalkraft). Das ist ein anderes Paar. Gewichtskraft und Normalkraft auf das Buch sind hier gleich groß, aber sie sind kein Paar des dritten Gesetzes, weil beide auf denselben Körper wirken.
Beispiele: Gehen (der Fuß drückt den Boden nach hinten, der Boden schiebt dich nach vorn), Schwimmen, Rudern, eine Rakete, ein springender Ball.
Erhaltung des linearen Impulses
Gesetz: Wirkt auf ein System keine äußere Gesamtkraft, bleibt sein gesamter linearer Impuls konstant.
Beweis aus dem zweiten und dritten Gesetz
Zwei Kugeln A und B stoßen zusammen. Während der kurzen Berührungszeit Δt drückt A mit FBA auf B und B drückt mit FAB auf A. Nach dem zweiten Gesetz ist die Impulsänderung von A: ΔpA = FAB Δt. Die von B: ΔpB = FBA Δt. Nach dem dritten Gesetz gilt FAB = − FBA, also ΔpA + ΔpB = 0. Der Gesamtimpuls ändert sich nicht:
m1u1 + m2u2 = m1v1 + m2v2
Anwendungen
- Rückstoß eines Gewehrs: 0 = M V + m v, also V = − m v / M. Das Gewehr bewegt sich langsam zurück, weil es schwer ist.
- Rakete: Gas wird schnell nach hinten ausgestoßen, die Rakete gewinnt Impuls nach vorn.
- Stöße und Explosionen: Der Gesamtimpuls unmittelbar vorher ist gleich dem Gesamtimpuls unmittelbar nachher, auch wenn Bewegungsenergie als Wärme und Schall verloren geht.
- Eine Granate, die in der Luft zerplatzt: Die Impulse der Stücke ergeben zusammen den Impuls der Granate vor dem Zerplatzen.
Gleichgewicht von Kräften an einem Punkt
Kräfte an einem Punkt (zentrale Kräfte) sind Kräfte, deren Wirkungslinien sich in einem Punkt schneiden. Ein Teilchen ist im Gleichgewicht, wenn die Gesamtkraft auf es null ist: Es bleibt in Ruhe oder bewegt sich mit konstanter Geschwindigkeit.
F1 + F2 + … + Fn = 0, das heißt ΣFx = 0, ΣFy = 0 und ΣFz = 0.
- Zwei Kräfte sind nur im Gleichgewicht, wenn sie gleich groß und entgegengesetzt sind.
- Drei Kräfte im Gleichgewicht bilden, Spitze an Schwanz gezeichnet, ein geschlossenes Dreieck (Dreiecksregel). Jede Kraft ist gleich groß und entgegengesetzt zur Resultierenden der beiden anderen.
- Satz von Lami (für drei Kräfte): Jede Kraft ist proportional zum Sinus des Winkels zwischen den beiden anderen: F1/sin α = F2/sin β = F3/sin γ.
So löst du solche Aufgaben
Zeichne ein Freikörperbild des Punktes, an dem sich die Kräfte treffen (ein Knoten, ein Ring). Zerlege jede Kraft in x- und y-Anteile. Setze die Summe in x-Richtung und in y-Richtung gleich null und löse auf.
Probiere es zu Hause aus
Ballonrakete: Fädle einen Trinkhalm auf eine lange Schnur, die quer durch den Raum gespannt ist. Klebe einen aufgeblasenen Luftballon an den Halm und lass die Öffnung los. Die Luft strömt nach hinten, der Ballon schießt nach vorn (drittes Gesetz und Impuls).
Federwaagen: Hänge zwei Federwaagen aneinander und ziehe. Beide zeigen immer denselben Wert an, egal wer stärker zieht.
Im 3D-Modell: Stelle im letzten Schritt m₁ = m₂ und u₁ = 4 m/s ein. Sage v voraus, bevor du zusiehst (Antwort: 2 m/s).
Wichtige Formeln und Definitionen
- F_AB = − F_BA (drittes Gesetz)
- m₁u₁ + m₂u₂ = m₁v₁ + m₂v₂
- Rückstoß: V = − m v / M
- Zusammenkleben: v = (m₁u₁ + m₂u₂)/(m₁ + m₂)
- Gleichgewicht: ΣFx = 0, ΣFy = 0
- Lami: F₁/sin α = F₂/sin β = F₃/sin γ
Gelöste Beispiele
1. Ein 4 kg schweres Gewehr feuert eine 20 g schwere Kugel mit 400 m/s ab. Berechne die Rückstoßgeschwindigkeit des Gewehrs.
Impuls vorher = 0. Nachher: 4 V + 0,02 × 400 = 0 → V = −8/4 = −2 m/s. Das Gewehr bewegt sich mit 2 m/s zurück.
2. Ein 2 kg schwerer Wagen mit 3 m/s stößt auf einen ruhenden 1 kg schweren Wagen und beide bleiben aneinander haften. Berechne ihre gemeinsame Geschwindigkeit.
2 × 3 + 1 × 0 = (2 + 1) v → v = 6/3 = 2 m/s.
3. Ein 50 kg schwerer Junge springt mit 2 m/s von einem 100 kg schweren Boot in Richtung Ufer. Das Boot lag in Ruhe. Berechne die Geschwindigkeit des Boots.
0 = 50 × 2 + 100 × V → V = −1 m/s. Das Boot bewegt sich mit 1 m/s vom Ufer weg.
4. Eine ruhende 3 kg schwere Granate explodiert in zwei Stücke von 1 kg und 2 kg. Das 1-kg-Stück fliegt mit 20 m/s. Berechne die Geschwindigkeit des anderen Stücks.
0 = 1 × 20 + 2 × v → v = −10 m/s: 10 m/s in die Gegenrichtung.
5. Zwei Kräfte von 6 N (nach Osten) und 8 N (nach Norden) wirken auf einen Ring. Welche dritte Kraft hält den Ring im Gleichgewicht?
Resultierende der beiden = √(6² + 8²) = 10 N, nach Nordosten unter tan⁻¹(8/6) ≈ 53° von Osten. Die dritte Kraft ist 10 N genau in die Gegenrichtung.
6. Eine 10 kg schwere Masse hängt an zwei Fäden, die jeweils 45° zur Senkrechten bilden. Berechne die Zugkraft in jedem Faden (g = 9,8 m/s²).
Senkrecht: 2T cos 45° = 98 → T = 98/(2 × 0,707) ≈ 69,3 N. Die waagerechten Anteile T sin 45° heben sich auf.
7. Eine 6 kg schwere Masse hängt an einem Faden. Eine waagerechte Kraft zieht sie, bis der Faden 30° zur Senkrechten bildet. Berechne die Kraft und die Zugkraft im Faden (g = 10 m/s²).
Senkrecht: T cos 30° = 60 → T = 60/0,866 ≈ 69,3 N. Waagerecht: F = T sin 30° = 69,3 × 0,5 ≈ 34,6 N (= 60 tan 30°).
Häufige Fehler
- Zu glauben, dass sich Actio und Reactio aufheben. Sie wirken auf verschiedene Körper, deshalb kann jeder Körper trotzdem beschleunigen.
- Gewichtskraft und Normalkraft als Paar des dritten Gesetzes zu bezeichnen. Beide wirken auf denselben Körper; die echten Paare sind Buch–Erde und Buch–Tisch.
- Das Minuszeichen bei Geschwindigkeiten in Gegenrichtung in Impulsaufgaben zu vergessen.
- Impulserhaltung zu benutzen, wenn lange Zeit eine große äußere Kraft wirkt (wie Reibung über viele Sekunden). Sie gilt, wenn die äußere Gesamtkraft null ist oder der Vorgang sehr kurz dauert.