Sistema di riferimento: da dove misuri?
Il moto è sempre relativo. Per dire dove si trova un oggetto serve un sistema di riferimento: un'origine (punto zero), un verso positivo scelto da noi e un orologio per leggere il tempo.
Un passeggero seduto su un treno in movimento è fermo rispetto al treno, ma si muove rispetto alla banchina. Entrambe le risposte sono giuste: usano sistemi diversi.
Su una retta basta un numero x (con il segno) per dare la posizione. Lo spostamento Δx = x₂ − x₁ è la variazione di posizione; la distanza percorsa (lunghezza del percorso) è tutta la strada fatta, sempre positiva.
Moto uniforme e non uniforme
Moto uniforme: spostamenti uguali in intervalli di tempo uguali, per quanto piccoli. La velocità è costante e il grafico x–t è una retta.
Moto non uniforme: spostamenti diversi in intervalli di tempo uguali. La velocità cambia e il grafico x–t è curvo.
Velocità e rapidità, medie e istantanee
Velocità media = spostamento ÷ tempo = Δx/Δt. Rapidità media (velocità scalare media) = lunghezza totale del percorso ÷ tempo. Se fai 100 m e torni indietro in 50 s, la velocità media è 0 ma la rapidità media è 4 m/s.
La velocità istantanea è la velocità in un solo istante: v = lim(Δt→0) Δx/Δt = dx/dt. Nel grafico x–t è la pendenza della tangente. La rapidità istantanea è il modulo della velocità istantanea.
La rapidità media è sempre ≥ il modulo della velocità media; sono uguali solo se l'oggetto non torna mai indietro.
Derivate e integrali semplici per il moto
Bastano poche regole: d/dt(tⁿ) = n tⁿ⁻¹, d/dt(costante) = 0 e ∫tⁿ dt = tⁿ⁺¹/(n + 1) + C.
- x = 5t² → v = dx/dt = 10t → a = dv/dt = 10 m/s².
- a = 4 → v = ∫4 dt = 4t + u → x = ∫v dt = 2t² + ut + x₀.
Derivare porta da x → v → a (pendenze). Integrare porta da a → v → x (aree), e i valori iniziali u e x₀ danno le costanti.
Accelerazione e moto uniformemente accelerato
L'accelerazione è la rapidità con cui cambia la velocità: a media = Δv/Δt, a istantanea = dv/dt (unità m/s²). Quando a è uguale in ogni istante, il moto è uniformemente accelerato; il miglior esempio è un corpo in caduta libera vicino alla Terra (a = g ≈ 9.8 m/s², verso il basso).
Una a negativa non significa sempre rallentare. L'oggetto rallenta solo quando v e a hanno segni opposti.
Grafici posizione–tempo e velocità–tempo
- Grafico x–t: pendenza = velocità. Retta → velocità costante; curva che sale sempre più → l'oggetto accelera nel verso +; retta orizzontale → fermo.
- Grafico v–t: pendenza = accelerazione; area tra il grafico e l'asse del tempo = spostamento (l'area sotto l'asse conta come negativa).
- Grafico a–t: area = variazione di velocità.
Un grafico non può mai mostrare due posizioni nello stesso istante, e la rapidità non è mai negativa.
Equazioni del moto con i grafici e con il calcolo
Metodo grafico (retta v–t da u a v)
Pendenza: a = (v − u)/t → v = u + at. Area = rettangolo ut + triangolo ½·t·(at) → s = ut + ½at². Area come trapezio s = ½(u + v)t; sostituendo t = (v − u)/a → v² = u² + 2as.
Metodo del calcolo
dv/dt = a → ∫ᵤᵛ dv = ∫₀ᵗ a dt → v = u + at. dx/dt = u + at → ∫dx = ∫(u + at)dt → x − x₀ = ut + ½at². Inoltre a = v dv/dx → ∫v dv = ∫a dx → v² − u² = 2a(x − x₀).
Distanza nell'n-esimo secondo: sₙ = u + a(2n − 1)/2. Queste equazioni valgono solo se a è costante.
Formule e definizioni chiave
- v = dx/dt, a = dv/dt = v·dv/dx
- v = u + at
- s = ut + ½at²
- v² = u² + 2as
- s = ½(u + v)t, sₙ = u + a(2n − 1)/2
- Velocità media = Δx/Δt; rapidità media = lunghezza del percorso/tempo
Esempi svolti
1. Un corridore percorre 400 m su una pista circolare e torna al punto di partenza in 80 s. Trova la rapidità media e la velocità media.
Passo 1: lunghezza del percorso = 400 m, spostamento = 0. Passo 2: rapidità media = 400/80 = 5 m/s. Passo 3: velocità media = 0/80 = 0.
2. La posizione di una particella è x = 3t² − 2t + 4 (x in m, t in s). Trova velocità e accelerazione a t = 2 s.
Passo 1: v = dx/dt = 6t − 2. Passo 2: a t = 2 s, v = 12 − 2 = 10 m/s. Passo 3: a = dv/dt = 6 m/s² (costante).
3. Un'auto parte da ferma con a = 2 m/s². Trova la sua velocità e la distanza dopo 5 s.
Passo 1: u = 0, a = 2, t = 5. Passo 2: v = u + at = 0 + 10 = 10 m/s. Passo 3: s = ut + ½at² = 0 + ½ × 2 × 25 = 25 m.
4. Una moto che viaggia a 20 m/s frena con una decelerazione di 5 m/s². Quanta strada fa prima di fermarsi?
Passo 1: u = 20, v = 0, a = −5. Passo 2: v² = u² + 2as → 0 = 400 − 10s. Passo 3: s = 40 m.
5. Una palla viene lasciata cadere da un edificio alto 45 m (g = 10 m/s²). Trova il tempo per arrivare a terra e la velocità all'impatto.
Passo 1: verso il basso positivo: u = 0, a = 10, s = 45. Passo 2: s = ½gt² → 45 = 5t² → t = 3 s. Passo 3: v = gt = 30 m/s.
6. Un grafico v–t è una retta da 4 m/s a t = 0 a 16 m/s a t = 6 s. Trova l'accelerazione e lo spostamento.
Passo 1: a = pendenza = (16 − 4)/6 = 2 m/s². Passo 2: spostamento = area del trapezio = ½(4 + 16) × 6 = 60 m. Passo 3: verifica: s = ut + ½at² = 24 + 36 = 60 m ✓.
7. Un corpo con u = 3 m/s e a = 2 m/s² si muove su una retta. Trova la distanza percorsa nel 5° secondo.
Passo 1: sₙ = u + a(2n − 1)/2. Passo 2: s₅ = 3 + 2 × 9/2 = 3 + 9 = 12 m. Passo 3: verifica: s(5) − s(4) = (15 + 25) − (12 + 16) = 40 − 28 = 12 m ✓.
8. L'accelerazione di una particella è a = 6t m/s². Parte da ferma in x = 0. Trova v e x a t = 2 s.
Passo 1: a non è costante, quindi si usa il calcolo, non v = u + at. Passo 2: v = ∫₀ᵗ 6t dt = 3t² → v(2) = 12 m/s. Passo 3: x = ∫₀ᵗ 3t² dt = t³ → x(2) = 8 m.
Errori comuni
- Usare v = u + at o s = ut + ½at² quando l'accelerazione cambia nel tempo. In quel caso serve il calcolo.
- Considerare uguali distanza percorsa e spostamento. Sono diversi quando il corpo torna indietro.
- Dimenticare i segni: una volta scelto l'alto (o la destra) come positivo, g vale −9.8 m/s² per il moto verso l'alto.
- Leggere l'area sotto un grafico x–t come spostamento. Solo l'area sotto un grafico v–t dà lo spostamento.