Che cos'è la continuità?
Una funzione f è continua in x = a quando tre cose coincidono:
- il limite sinistro (valori appena più piccoli di a),
- il limite destro (valori appena più grandi di a),
- il valore effettivo f(a).
In breve: lim(x→a) f(x) = f(a). Se una delle tre cose manca o è diversa, il grafico ha una rottura (un buco o un salto) in a.
I polinomi, sin x, cos x, eˣ e ln x (per x > 0) sono continui dove sono definiti. Anche somme, differenze, prodotti e quozienti (con denominatore diverso da zero) di funzioni continue sono continui.
Derivabile implica continua, non il contrario
Se una funzione ha la derivata in a, deve essere continua in a. Ma |x| è continua in 0 e tuttavia non ha derivata lì: il grafico ha uno spigolo, quindi la pendenza sinistra (−1) e quella destra (+1) non coincidono.
Derivata e regola della catena
La derivata f′(x) è la pendenza della tangente in x: f′(x) = lim(h→0) [f(x + h) − f(x)] / h.
Regola della catena (una funzione dentro un'altra): se y = f(u) e u = g(x), allora dy/dx = (dy/du) × (du/dx).
Esempio: y = (3x + 1)⁵. Esterna: u⁵ → 5u⁴. Interna: 3x + 1 → 3. Quindi dy/dx = 5(3x + 1)⁴ × 3 = 15(3x + 1)⁴.
Derivate delle funzioni trigonometriche inverse
- d/dx (sin⁻¹x) = 1/√(1 − x²), per −1 < x < 1
- d/dx (cos⁻¹x) = −1/√(1 − x²)
- d/dx (tan⁻¹x) = 1/(1 + x²)
- d/dx (cot⁻¹x) = −1/(1 + x²)
- d/dx (sec⁻¹x) = 1/(|x|√(x² − 1)), d/dx (cosec⁻¹x) = −1/(|x|√(x² − 1))
Perché tan⁻¹x: poni y = tan⁻¹x, quindi tan y = x. Derivando: sec²y · dy/dx = 1, quindi dy/dx = 1/sec²y = 1/(1 + tan²y) = 1/(1 + x²).
Consiglio: una sostituzione intelligente come x = tan θ spesso trasforma un'espressione complicata in una semplice prima di derivare.
Funzioni implicite
A volte x e y sono mescolate, come in x² + y² = 9 o x³ + y³ = 3xy. Non serve ricavare y. Deriva ogni termine rispetto a x e, ogni volta che derivi qualcosa con y, moltiplica per dy/dx (regola della catena). Poi raccogli i termini con dy/dx.
x² + y² = 9 → 2x + 2y·dy/dx = 0 → dy/dx = −x/y.
Funzioni esponenziali e logaritmiche
- d/dx (eˣ) = eˣ: la sua pendenza è uguale alla sua altezza.
- d/dx (ln x) = 1/x, per x > 0.
- d/dx (aˣ) = aˣ ln a.
- d/dx (logₐx) = 1/(x ln a).
Con la regola della catena: d/dx (e^(3x)) = 3e^(3x), d/dx ln(sin x) = cos x / sin x = cot x.
Derivazione logaritmica
Usala quando l'esponente contiene x (come xˣ o (sin x)^x), oppure per un lungo prodotto o quoziente.
- Prendi ln di entrambi i membri: ln y = x ln x.
- Deriva: (1/y) dy/dx = ln x + 1.
- Moltiplica per y: dy/dx = xˣ(1 + ln x).
Funzioni in forma parametrica
A volte x e y dipendono entrambe da una terza variabile t (un parametro), come x = t², y = 2t. Allora
dy/dx = (dy/dt) / (dx/dt), purché dx/dt ≠ 0.
Per una circonferenza x = r cos t, y = r sin t: dy/dx = (r cos t)/(−r sin t) = −cot t.
Derivata seconda
Deriva ancora una volta: d²y/dx² = d/dx (dy/dx), scritta anche f″(x) o y₂.
Dice come cambia la pendenza. f″ > 0: la pendenza cresce, la curva si piega verso l'alto come una ciotola. f″ < 0: si piega verso il basso come un cappello.
Esempio: y = x³ → y′ = 3x² → y″ = 6x.
Per le forme parametriche: d²y/dx² = [d/dt (dy/dx)] ÷ (dx/dt). Non dividere semplicemente d²y/dt² per d²x/dt².
Formule e definizioni chiave
- Continuità in a: lim(x→a⁻) f = lim(x→a⁺) f = f(a)
- Regola della catena: dy/dx = (dy/du)(du/dx)
- d/dx sin⁻¹x = 1/√(1 − x²), d/dx tan⁻¹x = 1/(1 + x²)
- d/dx eˣ = eˣ, d/dx ln x = 1/x, d/dx aˣ = aˣ ln a
- Parametriche: dy/dx = (dy/dt)/(dx/dt)
- Derivata seconda: d²y/dx² = d/dx (dy/dx)
Esempi svolti
1. La funzione f(x) = 2x + 3 per x ≤ 1 e f(x) = 6 − x per x > 1 è continua in x = 1?
Limite sinistro: 2(1) + 3 = 5. Limite destro: 6 − 1 = 5. Valore f(1) = 5. Tutti e tre sono uguali, quindi f è continua in x = 1.
2. Trova k in modo che f(x) = kx² per x ≤ 2 e f(x) = 3 per x > 2 sia continua in x = 2.
Limite sinistro = valore = 4k. Limite destro = 3. Per la continuità 4k = 3, quindi k = 3/4.
3. Deriva y = sin(x² + 5).
Esterna sin u → cos u; interna x² + 5 → 2x. dy/dx = cos(x² + 5) × 2x = 2x cos(x² + 5).
4. Deriva y = tan⁻¹(2x/(1 − x²)) per −1 < x < 1.
Poni x = tan θ. Allora 2x/(1 − x²) = tan 2θ, quindi y = 2θ = 2 tan⁻¹x. dy/dx = 2/(1 + x²).
5. Trova dy/dx se x² + xy + y² = 7.
2x + (y + x·dy/dx) + 2y·dy/dx = 0. Quindi dy/dx (x + 2y) = −(2x + y), da cui dy/dx = −(2x + y)/(x + 2y).
6. Deriva y = e^(3x) · ln x.
Regola del prodotto: dy/dx = 3e^(3x) ln x + e^(3x)(1/x) = e^(3x)(3 ln x + 1/x).
7. Deriva y = xˣ (x > 0).
ln y = x ln x. (1/y) dy/dx = ln x + 1. dy/dx = xˣ(1 + ln x).
8. Se x = a cos t e y = a sin t, trova dy/dx e d²y/dx².
dx/dt = −a sin t, dy/dt = a cos t, quindi dy/dx = −cot t. d/dt(−cot t) = cosec²t. d²y/dx² = cosec²t ÷ (−a sin t) = −1/(a sin³t).
9. Se y = 3e^(2x) + 2e^(−x), mostra che y″ − y′ − 2y = 0.
y′ = 6e^(2x) − 2e^(−x); y″ = 12e^(2x) + 2e^(−x). y″ − y′ − 2y = (12 − 6 − 6)e^(2x) + (2 + 2 − 4)e^(−x) = 0.
Errori comuni
- Dimenticare la derivata interna nella regola della catena: d/dx sin(3x) è 3cos(3x), non cos(3x).
- Nella derivazione implicita, scrivere d/dx(y²) = 2y invece di 2y·dy/dx.
- Pensare che ogni funzione continua sia derivabile. |x| è continua in 0 ma ha uno spigolo, quindi lì non ha derivata.
- Per le derivate seconde parametriche, dividere d²y/dt² per d²x/dt². Bisogna invece derivare dy/dx rispetto a t e dividere per dx/dt.