Cos'è un limite? (l'idea intuitiva)
Immagina un punto che si muove lungo un grafico. Avviciniamo x sempre di più a un numero a e osserviamo l'altezza f(x).
Se f(x) si avvicina sempre di più a un solo numero L, scriviamo lim(x→a) f(x) = L. Si legge «il limite di f(x) per x che tende ad a è L».
Attenzione: il limite non si occupa del valore in a. La funzione può anche avere un buco proprio lì. Conta solo cosa succede vicino ad a.
Limite sinistro e limite destro
Se arriviamo da numeri più piccoli (come 1,9 e 1,99) otteniamo il limite sinistro, scritto x → a⁻. Se arriviamo da numeri più grandi (2,1 e 2,01) otteniamo il limite destro, x → a⁺.
Il limite esiste solo se i due valori sono uguali. Se il grafico fa un salto, i due lati sono diversi e quindi non c'è limite.
Le regole (algebra) dei limiti
Se lim f(x) e lim g(x) esistono entrambi per x → a, allora:
- il limite di una somma = la somma dei limiti
- il limite di una differenza = la differenza dei limiti
- il limite di un prodotto = il prodotto dei limiti
- il limite di un quoziente = il quoziente dei limiti (il limite del denominatore non deve essere 0)
- il limite di k·f(x) = k × il limite di f(x)
Con queste regole spezziamo un limite difficile in tanti pezzi facili.
Limiti delle funzioni polinomiali
Un polinomio non ha buchi né salti. Quindi il suo limite è semplicemente il suo valore.
Esempio: lim(x→2) (3x² − x + 1) = 3(4) − 2 + 1 = 11.
Limiti delle funzioni razionali
Una funzione razionale è un polinomio diviso per un altro polinomio, p(x)/q(x).
- Se q(a) ≠ 0, basta sostituire x = a.
- Se ottieni 0/0, non è una risposta. Significa che (x − a) è un fattore sia del numeratore sia del denominatore. Scomponi, semplifica (x − a), poi sostituisci x = a.
Un risultato molto utile
lim(x→a) (xⁿ − aⁿ)/(x − a) = n·aⁿ⁻¹. Per esempio lim(x→2) (x⁵ − 32)/(x − 2) = 5 × 2⁴ = 80.
Limiti delle funzioni goniometriche
sin x e cos x sono continue e regolari, quindi lim(x→a) sin x = sin a e lim(x→a) cos x = cos a.
Due risultati notevoli (x in radianti):
- lim(x→0) sin x / x = 1
- lim(x→0) (1 − cos x)/x = 0
Perché il primo è vero? Su una circonferenza di raggio 1, per un angolo x piccolo, l'arco (lungo x) e la metà della corda (lunga sin x) sono quasi uguali. Un ragionamento «del confronto» con le aree lo dimostra: cos x ≤ sin x / x ≤ 1, ed entrambi gli estremi tendono a 1.
Trucco: fai in modo che l'angolo e il denominatore siano uguali. lim sin 5x / x = 5 × lim (sin 5x)/(5x) = 5.
Limiti delle funzioni esponenziali e logaritmiche
eˣ e ln x sono regolari dove sono definite, quindi per loro possiamo sostituire il valore (per ln x serve x > 0).
Due risultati notevoli:
- lim(x→0) (eˣ − 1)/x = 1
- lim(x→0) ln(1 + x)/x = 1
Anche qui fai combaciare l'espressione dentro con il denominatore: lim (e³ˣ − 1)/x = 3 × lim (e³ˣ − 1)/(3x) = 3.
Dai limiti alle derivate
Per trovare la pendenza di una curva in un punto servirebbe un intervallo uguale a zero, ma per zero non si può dividere. Allora prendiamo un piccolo intervallo h e lo facciamo tendere a 0 (h → 0). Questo limite è la derivata. La studierai nella prossima lezione.
Provaci tu
Usa una calcolatrice in modalità radianti. Calcola sin(0,1)/0,1, sin(0,01)/0,01 e sin(0,001)/0,001. Prevedi verso quale valore vanno i risultati. Poi apri il gioco libero in 3D, scegli sin x / x e rendi h piccolissimo per controllare.
Formule e definizioni chiave
- lim(x→a) f(x) = L quando f(x) → L da entrambi i lati
- Il limite esiste ⇔ lim(x→a⁻) f(x) = lim(x→a⁺) f(x)
- lim(x→a) (xⁿ − aⁿ)/(x − a) = n·aⁿ⁻¹
- lim(x→0) sin x / x = 1 (x in radianti)
- lim(x→0) (1 − cos x)/x = 0
- lim(x→0) (eˣ − 1)/x = 1
- lim(x→0) ln(1 + x)/x = 1
Esempi svolti
1. Calcola lim(x→3) (x² + 2x − 1).
È un polinomio, quindi sostituisci x = 3: 9 + 6 − 1 = 14.
2. Calcola lim(x→2) (x² − 4)/(x − 2).
Sostituendo x = 2 si ottiene 0/0. Scomponi: (x − 2)(x + 2)/(x − 2). Semplifica (x − 2): resta x + 2. Ora sostituisci x = 2: risultato 4.
3. f(x) = x + 1 per x < 1 e f(x) = 3x per x ≥ 1. Esiste lim(x→1) f(x)?
Limite sinistro: 1 + 1 = 2. Limite destro: 3 × 1 = 3. Non sono uguali, quindi il limite non esiste.
4. Calcola lim(x→1) (x¹⁰ − 1)/(x − 1).
Usa (xⁿ − aⁿ)/(x − a) → n·aⁿ⁻¹ con n = 10 e a = 1: 10 × 1⁹ = 10.
5. Calcola lim(x→0) sin 4x / sin 2x.
Scrivilo come [sin 4x/(4x)] × 4x ÷ ([sin 2x/(2x)] × 2x). Entrambe le parentesi → 1. Quindi il risultato è 4x/2x = 2.
6. Calcola lim(x→0) (e²ˣ − 1)/x.
Moltiplica e dividi per 2: 2 × (e²ˣ − 1)/(2x). La frazione → 1, quindi il risultato è 2.
7. Calcola lim(x→0) ln(1 + 3x)/x.
Scrivilo come 3 × ln(1 + 3x)/(3x). La frazione → 1 perché 3x → 0. Risultato: 3.
8. Calcola lim(x→0) (1 − cos 2x)/x².
1 − cos 2x = 2 sin²x. Quindi il limite è 2 × (sin x / x)² → 2 × 1 = 2.
Errori comuni
- Scrivere 0/0 come risultato. 0/0 significa solo «serve più lavoro»: scomponi, semplifica o usa un limite notevole.
- Usare i gradi in sin x / x. Il risultato 1 vale solo quando x è in radianti.
- Pensare che il limite debba essere uguale a f(a). Un grafico può avere un buco in a e avere comunque un limite lì.
- Controllare un solo lato. Se il limite sinistro e il limite destro sono diversi, il limite non esiste.