सीमा क्या है? (सहज विचार)
ग्राफ़ पर चलता एक बिंदु सोचो। हम x को किसी संख्या a के और पास ले जाते हैं। हम ऊँचाई f(x) देखते हैं।
अगर f(x) एक संख्या L के और पास जाता जाए, तो लिखते हैं lim(x→a) f(x) = L। पढ़ो: “x के a की ओर जाने पर f(x) की सीमा L है”।
ध्यान दो: सीमा को a पर के मान से मतलब नहीं। वहाँ छेद भी हो सकता है। सीमा सिर्फ़ a के पास के मान देखती है।
बाएँ पक्ष और दाएँ पक्ष की सीमा
छोटी संख्याओं (1.9, 1.99) से आने पर बाएँ पक्ष की सीमा मिलती है, x → a⁻। बड़ी संख्याओं (2.1, 2.01) से आने पर दाएँ पक्ष की सीमा, x → a⁺।
सीमा तभी होती है जब दोनों बराबर हों। ग्राफ़ कूदे तो दोनों अलग होंगी, सीमा नहीं होगी।
सीमाओं का बीजगणित (नियम)
अगर x → a पर lim f(x) और lim g(x) दोनों हों, तो:
- योग की सीमा = सीमाओं का योग
- अंतर की सीमा = सीमाओं का अंतर
- गुणनफल की सीमा = सीमाओं का गुणनफल
- भागफल की सीमा = सीमाओं का भागफल (नीचे की सीमा 0 न हो)
- k·f(x) की सीमा = k × f(x) की सीमा
इन नियमों से कठिन सीमा को छोटे आसान टुकड़ों में तोड़ते हैं।
बहुपद फलनों की सीमा
बहुपद में न छेद होता है, न छलाँग। इसलिए उसकी सीमा बस उसका मान है।
उदाहरण: lim(x→2) (3x² − x + 1) = 3(4) − 2 + 1 = 11।
परिमेय फलनों की सीमा
परिमेय फलन = एक बहुपद ÷ दूसरा बहुपद, p(x)/q(x)।
- q(a) ≠ 0 हो तो सीधे x = a रखो।
- 0/0 आए तो यह उत्तर नहीं है। इसका अर्थ है (x − a) ऊपर और नीचे दोनों का गुणनखंड है। गुणनखंड करो, (x − a) काटो, फिर x = a रखो।
बहुत काम का परिणाम
lim(x→a) (xⁿ − aⁿ)/(x − a) = n·aⁿ⁻¹। जैसे lim(x→2) (x⁵ − 32)/(x − 2) = 5 × 2⁴ = 80।
त्रिकोणमितीय फलनों की सीमा
sin x और cos x चिकने (smooth) हैं, इसलिए lim(x→a) sin x = sin a और lim(x→a) cos x = cos a।
दो मानक परिणाम (x रेडियन में):
- lim(x→0) sin x / x = 1
- lim(x→0) (1 − cos x)/x = 0
पहला क्यों सही है? इकाई वृत्त पर छोटे कोण x के लिए चाप (लंबाई x) और आधी जीवा (लंबाई sin x) लगभग बराबर हैं। क्षेत्रफल की तुलना से cos x ≤ sin x / x ≤ 1 मिलता है, और दोनों सिरे 1 पर जाते हैं।
तरकीब: कोण और नीचे वाला भाग एक जैसा बनाओ। lim sin 5x / x = 5 × lim (sin 5x)/(5x) = 5।
चरघातांकी और लघुगणकीय फलनों की सीमा
eˣ और ln x अपने क्षेत्र में चिकने हैं, इसलिए मान रख सकते हैं (ln x के लिए x > 0)।
दो मानक परिणाम:
- lim(x→0) (eˣ − 1)/x = 1
- lim(x→0) ln(1 + x)/x = 1
फिर से अंदर और नीचे मिलाओ: lim (e³ˣ − 1)/x = 3 × lim (e³ˣ − 1)/(3x) = 3।
सीमा से अवकलज तक
किसी एक बिंदु पर वक्र की ढाल के लिए शून्य अंतर चाहिए, और शून्य से भाग नहीं दे सकते। इसलिए छोटा अंतर h लेते हैं और h → 0 करते हैं। यही सीमा अवकलज है। इसे अगले पाठ में पढ़ोगे।
करके देखो
कैलकुलेटर रेडियन मोड में रखो। sin(0.1)/0.1, sin(0.01)/0.01 और sin(0.001)/0.001 निकालो। अंदाज़ा लगाओ मान कहाँ जा रहे हैं। फिर 3D खुले खेल में sin x / x चुनकर h बहुत छोटा करो और जाँचो।
मुख्य सूत्र और परिभाषाएँ
- lim(x→a) f(x) = L, जब दोनों ओर से f(x) → L
- सीमा है ⇔ lim(x→a⁻) f(x) = lim(x→a⁺) f(x)
- lim(x→a) (xⁿ − aⁿ)/(x − a) = n·aⁿ⁻¹
- lim(x→0) sin x / x = 1 (x रेडियन में)
- lim(x→0) (1 − cos x)/x = 0
- lim(x→0) (eˣ − 1)/x = 1
- lim(x→0) ln(1 + x)/x = 1
हल किए गए उदाहरण
1. lim(x→3) (x² + 2x − 1) ज्ञात करो।
यह बहुपद है, तो x = 3 रखो: 9 + 6 − 1 = 14।
2. lim(x→2) (x² − 4)/(x − 2) ज्ञात करो।
x = 2 रखने पर 0/0। गुणनखंड: (x − 2)(x + 2)/(x − 2)। (x − 2) काटो: x + 2। अब x = 2 रखो: उत्तर 4।
3. x < 1 पर f(x) = x + 1 और x ≥ 1 पर f(x) = 3x। क्या lim(x→1) f(x) है?
बाईं सीमा: 1 + 1 = 2। दाईं सीमा: 3 × 1 = 3। बराबर नहीं, इसलिए सीमा नहीं है।
4. lim(x→1) (x¹⁰ − 1)/(x − 1) ज्ञात करो।
(xⁿ − aⁿ)/(x − a) → n·aⁿ⁻¹ में n = 10, a = 1: 10 × 1⁹ = 10।
5. lim(x→0) sin 4x / sin 2x ज्ञात करो।
इसे [sin 4x/(4x)] × 4x ÷ ([sin 2x/(2x)] × 2x) लिखो। दोनों कोष्ठक → 1। उत्तर 4x/2x = 2।
6. lim(x→0) (e²ˣ − 1)/x ज्ञात करो।
2 से गुणा और भाग: 2 × (e²ˣ − 1)/(2x)। भिन्न → 1, इसलिए उत्तर 2।
7. lim(x→0) ln(1 + 3x)/x ज्ञात करो।
3 × ln(1 + 3x)/(3x) लिखो। 3x → 0 पर भिन्न → 1। उत्तर: 3।
8. lim(x→0) (1 − cos 2x)/x² ज्ञात करो।
1 − cos 2x = 2 sin²x। तो सीमा = 2 × (sin x / x)² → 2 × 1 = 2।
आम गलतियाँ
- 0/0 को उत्तर लिख देना। 0/0 का अर्थ है 'और काम करो': गुणनखंड, काटना या मानक सीमा।
- sin x / x में डिग्री लेना। परिणाम 1 सिर्फ़ रेडियन में सही है।
- सोचना कि सीमा f(a) के बराबर ही होगी। a पर छेद हो तब भी सीमा हो सकती है।
- सिर्फ़ एक ओर जाँचना। बाईं और दाईं सीमा अलग हों तो सीमा नहीं होती।