अवकलज: स्पर्श रेखा की ढाल
छेदक (secant) वक्र के दो बिंदुओं से जाने वाली सीधी रेखा है। उसकी ढाल = ऊपर चढ़ाव ÷ आगे बढ़त = [f(x + h) − f(x)]/h।
अब दूसरे बिंदु को पहले की ओर खिसकाओ (h → 0)। छेदक स्पर्श रेखा बन जाती है, जो वक्र को एक बिंदु पर बस छूती है। उसकी ढाल ही अवकलज f′(x) है।
y = x² पर x = 1: छेदक की ढाल = 2 + h, तो स्पर्श रेखा की ढाल 2।
अवकलज: परिवर्तन की दर
अगर s(t) समय t के बाद की दूरी है, तो [s(t + h) − s(t)]/h समय h में औसत चाल है। h → 0 करने पर तात्क्षणिक चाल ds/dt मिलती है।
आम तौर पर dy/dx बताता है कि उसी पल x के 1 इकाई बदलने पर y कितनी इकाई बदलता है। उदाहरण: वृत्त का क्षेत्रफल A = πr², dA/dr = 2πr। r = 5 cm पर यह 10π cm² प्रति cm है।
प्रथम सिद्धांत से अवकलज
परिभाषा (इसे प्रथम सिद्धांत भी कहते हैं):
f′(x) = lim(h→0) [f(x + h) − f(x)]/h
चरण: (1) f(x + h) लिखो; (2) f(x) घटाओ; (3) h से भाग देकर सरल करो; (4) h → 0 करो।
मानक परिणाम
- d/dx(xⁿ) = n xⁿ⁻¹
- d/dx(अचर) = 0
- d/dx(sin x) = cos x, d/dx(cos x) = −sin x, d/dx(tan x) = sec²x
sin x के लिए: [sin(x + h) − sin x]/h = 2cos(x + h/2)·sin(h/2)/h। क्योंकि sin(h/2)/(h/2) → 1, उत्तर cos x है। यहाँ पिछले पाठ की सीमा sin θ/θ → 1 काम आती है।
योग और अंतर का अवकलज
(u + v)′ = u′ + v′ और (u − v)′ = u′ − v′। अचर k के लिए (k·u)′ = k·u′।
इसलिए बहुपद का अवकलज पद-दर-पद निकालते हैं: d/dx(4x³ − 5x + 7) = 12x² − 5।
गुणनफल का अवकलज (गुणनफल नियम)
(uv)′ = u·v′ + v·u′
भुजाएँ u और v वाला आयत सोचो। x थोड़ा बढ़े तो u, du से और v, dv से बढ़ता है। क्षेत्रफल में ऊपर की पट्टी u·dv और बगल की पट्टी v·du जुड़ती है। कोने का du·dv इतना छोटा है कि h → 0 पर गायब हो जाता है।
ध्यान: (uv)′, u′·v′ नहीं है।
भागफल का अवकलज (भागफल नियम)
(u/v)′ = (v·u′ − u·v′)/v², जहाँ v ≠ 0।
ऋण चिह्न के कारण क्रम ज़रूरी है: नीचे × ऊपर का अवकलज, घटाओ ऊपर × नीचे का अवकलज, सब ÷ नीचे का वर्ग।
उदाहरण: d/dx [x/(x + 1)] = [(x + 1)·1 − x·1]/(x + 1)² = 1/(x + 1)²।
करके देखो
4 मिनट चलो और हर मिनट की दूरी लिखो। हर मिनट की औसत चाल निकालो। फिर 3D खुले खेल में x² चुनो, x = 1 रखो और धीरे-धीरे h घटाओ। रीडआउट देखने से पहले ढाल बोलकर बताओ।
मुख्य सूत्र और परिभाषाएँ
- f′(x) = lim(h→0) [f(x + h) − f(x)]/h
- d/dx(xⁿ) = n xⁿ⁻¹; d/dx(c) = 0
- d/dx(sin x) = cos x; d/dx(cos x) = −sin x; d/dx(tan x) = sec²x
- (u ± v)′ = u′ ± v′; (ku)′ = k u′
- (uv)′ = u v′ + v u′
- (u/v)′ = (v u′ − u v′)/v²
हल किए गए उदाहरण
1. प्रथम सिद्धांत से f(x) = x² का अवकलज निकालो।
f(x + h) − f(x) = x² + 2xh + h² − x² = 2xh + h²। h से भाग: 2x + h। h → 0: f′(x) = 2x।
2. प्रथम सिद्धांत से f(x) = 1/x का अवकलज निकालो।
[1/(x + h) − 1/x]/h = [x − (x + h)]/[h·x(x + h)] = −1/[x(x + h)]। h → 0: f′(x) = −1/x²।
3. y = 5x⁴ − 3x² + 2x − 9 का अवकलज निकालो।
पद-दर-पद: 20x³ − 6x + 2 − 0 = 20x³ − 6x + 2।
4. पत्थर t सेकंड में s = 5t² मीटर गिरता है। t = 3 s पर चाल निकालो।
ds/dt = 10t। t = 3 पर: 30 m/s।
5. y = x² sin x का अवकलज निकालो।
गुणनफल नियम, u = x², v = sin x: y′ = x²·cos x + sin x·2x = x² cos x + 2x sin x।
6. y = (x + 1)/(x − 1) का अवकलज निकालो।
u = x + 1, v = x − 1, u′ = v′ = 1। y′ = [(x − 1)·1 − (x + 1)·1]/(x − 1)² = −2/(x − 1)²।
7. y = sin x / x का अवकलज निकालो।
भागफल नियम: y′ = (x cos x − sin x)/x²।
8. y = x³ − 2x पर x = 2 पर स्पर्श रेखा की ढाल निकालो।
y′ = 3x² − 2। x = 2 पर: 12 − 2 = 10। ढाल 10 है।
आम गलतियाँ
- (uv)′ = u′v′ लिखना। सही नियम में दो भाग हैं: uv′ + vu′।
- भागफल नियम में क्रम उलटना। ऊपर v·u′ − u·v′ आता है, u·v′ − v·u′ नहीं।
- प्रथम सिद्धांत में h = 0 जल्दी रख देना। पहले h काटो, फिर h → 0 करो।
- अचर का अवकलज 0 भूलना, या d/dx(cos x) का ऋण चिह्न भूलना।