पहले ये शब्द समझ लो
वृत्त वे सारे बिंदु हैं जो केंद्र O से बराबर दूरी पर हों। यह दूरी त्रिज्या (radius) है।
- जीवा (chord): वृत्त के दो बिंदुओं को मिलाने वाली सीधी रेखा।
- व्यास (diameter): केंद्र से होकर जाने वाली जीवा। यह दो त्रिज्याओं जितना लंबा होता है।
- चाप (arc): परिधि का एक टुकड़ा।
- वृत्तखंड (segment): जीवा और चाप के बीच का भाग। जीवा वृत्त को बड़े (दीर्घ) और छोटे (लघु) खंड में बाँटती है।
- स्पर्शरेखा (tangent): वह सीधी रेखा जो वृत्त को ठीक एक बिंदु पर छूती है।
केंद्र से जीवा पर डाला गया लंब जीवा को आधा करता है। इसलिए त्रिज्या, आधी जीवा और केंद्र की दूरी से समकोण त्रिभुज बनता है, और पाइथागोरस लगता है: r² = d² + (c/2)²।
वृत्त के अंदर के कोणों वाले प्रमेय
1. केंद्र पर कोण, परिधि के कोण का दोगुना
जीवा AB केंद्र पर ∠AOB और परिधि के बिंदु P पर ∠APB बनाए (एक ही तरफ़), तो ∠AOB = 2 × ∠APB। केंद्र वाले को केंद्रीय कोण और किनारे वाले को अंतर्निहित कोण (inscribed angle) कहते हैं।
2. अर्धवृत्त में कोण 90°
AB व्यास हो तो ∠AOB = 180°, इसलिए ∠APB = 90°। यह नियम 1 का ही खास रूप है।
3. एक ही खंड के कोण बराबर
एक ही चाप पर हर बिंदु जीवा को एक ही कोण पर देखता है, क्योंकि हर कोण उसी केंद्रीय कोण का आधा है।
4. चक्रीय चतुर्भुज के सम्मुख कोणों का योग 180°
जिस चतुर्भुज के चारों शीर्ष एक वृत्त पर हों, उसे चक्रीय चतुर्भुज कहते हैं। ∠A + ∠C = 180° और ∠B + ∠D = 180°। बाहरी कोण, सामने वाले अंदरूनी कोण के बराबर होता है।
स्पर्शरेखा वाले प्रमेय
5. स्पर्शरेखा त्रिज्या पर लंब
स्पर्श बिंदु तक खींची त्रिज्या, स्पर्शरेखा से 90° बनाती है।
6. बाहरी बिंदु से दो स्पर्शरेखाएँ बराबर
बाहर के बिंदु E से ET₁ = ET₂। त्रिभुज OT₁E और OT₂E सर्वांगसम हैं (RHS: समकोण, साझा कर्ण OE, बराबर त्रिज्याएँ)। पाइथागोरस से: ET = √(OE² − r²)।
7. एकांतर खंड प्रमेय (alternate segment theorem)
स्पर्श बिंदु पर स्पर्शरेखा और जीवा के बीच का कोण, उसी जीवा पर दूसरे (एकांतर) खंड में बने कोण के बराबर होता है।
मुख्य प्रमेय की उपपत्ति (proof)
P को O से मिलाओ और रेखा आगे बढ़ाओ। OA = OP = OB (सब त्रिज्याएँ), इसलिए त्रिभुज OAP और OBP समद्विबाहु हैं।
- त्रिभुज OAP में बराबर कोण x हैं। O पर बाहरी कोण x + x = 2x।
- त्रिभुज OBP में बराबर कोण y हैं। O पर बाहरी कोण 2y।
- इसलिए ∠AOB = 2x + 2y = 2(x + y) = 2 × ∠APB।
नियम 2, 3 और 4 इसी से निकलते हैं। चक्रीय चतुर्भुज में जीवा BD के दोनों चापों के केंद्रीय कोण मिलकर 360° होते हैं, तो उनके आधे मिलकर 180°।
परीक्षा में: हर कोण के साथ कारण लिखो, जैसे "अर्धवृत्त में बना कोण 90°"। बिना कारण के उत्तर पर अंक कटते हैं।
चाप की लंबाई और त्रिज्यखंड का क्षेत्रफल
केंद्रीय कोण θ (डिग्री में) पूरे वृत्त का θ/360 भाग लेता है। चाप लंबाई = (θ/360) × 2πr, त्रिज्यखंड क्षेत्रफल = (θ/360) × πr²। उदाहरण: r = 6 cm, θ = 60°: चाप ≈ 6.28 cm, क्षेत्रफल ≈ 18.85 cm²। ज़्यादा जानकारी वृत्त का क्षेत्रफल पाठ में।
घर पर करके देखो
थाली से एक वृत्त बनाओ और एक व्यास खींचो। किताब का कोना वृत्त पर रखो ताकि उसके दोनों किनारे व्यास के सिरों से गुज़रें। हर बार ठीक बैठेगा, क्योंकि अर्धवृत्त में कोण 90° है। फिर दो बिंदु A, B लो, बड़े चाप पर तीन बिंदु चुनो और चाँदे से हर ∠APB नापो। सब बराबर निकलेंगे।
मुख्य सूत्र और परिभाषाएँ
- केंद्र पर कोण = 2 × परिधि पर कोण
- अर्धवृत्त में कोण = 90°
- एक ही खंड के कोण बराबर
- चक्रीय चतुर्भुज: ∠A + ∠C = 180°, ∠B + ∠D = 180°
- स्पर्श बिंदु पर स्पर्शरेखा ⟂ त्रिज्या
- बाहरी बिंदु से स्पर्शरेखाएँ बराबर: ET = √(OE² − r²)
- एकांतर खंड: स्पर्शरेखा-जीवा कोण = दूसरे खंड का कोण
- चाप = (θ/360) × 2πr; त्रिज्यखंड = (θ/360) × πr²
हल किए गए उदाहरण
1. परिधि पर ∠APB = 35° है। उसी जीवा पर केंद्र का कोण ∠AOB ज्ञात करो।
केंद्र का कोण = 2 × परिधि का कोण। ∠AOB = 2 × 35° = 70°।
2. AB व्यास है और ∠PAB = 52°। ∠PBA ज्ञात करो।
पहले: ∠APB = 90° (अर्धवृत्त का कोण)। फिर त्रिभुज के कोणों का योग 180°: ∠PBA = 180° − 90° − 52° = 38°।
3. चक्रीय चतुर्भुज ABCD में ∠A = 112° और ∠B = 75° है। ∠C और ∠D ज्ञात करो।
सम्मुख कोणों का योग 180°। ∠C = 180° − 112° = 68°, ∠D = 180° − 75° = 105°।
4. त्रिज्या 5 cm वाले वृत्त पर E से स्पर्शरेखा T पर छूती है। OE = 13 cm। ET ज्ञात करो।
∠OTE = 90° (स्पर्शरेखा ⟂ त्रिज्या)। ET² = 169 − 25 = 144, इसलिए ET = 12 cm।
5. P और Q जीवा AB के ऊपर एक ही चाप पर हैं। ∠APB = 48°। ∠AQB और ∠AOB ज्ञात करो।
∠AQB = 48° (एक ही खंड के कोण)। ∠AOB = 2 × 48° = 96° (केंद्र का कोण दोगुना)।
6. T पर स्पर्शरेखा, जीवा TA से 64° बनाती है। P दीर्घ चाप पर है। ∠TPA और ∠TOA ज्ञात करो।
एकांतर खंड प्रमेय से ∠TPA = 64°। केंद्र का कोण दोगुना: ∠TOA = 128°। जाँच: समद्विबाहु त्रिभुज OTA के आधार कोण (180 − 128)/2 = 26°, और 26° + 64° = 90°, जो स्पर्शरेखा ⟂ त्रिज्या से मेल खाता है।
7. E से दो स्पर्शरेखाएँ वृत्त को A और B पर छूती हैं। ∠AEB = 50°। ∠AOB ज्ञात करो।
चतुर्भुज OAEB में दो कोण 90° हैं। चतुर्भुज के कोणों का योग 360°, इसलिए ∠AOB = 360° − 90° − 90° − 50° = 130°।
आम गलतियाँ
- दोगुना करने की जगह आधा कर देना: केंद्र वाला कोण बड़ा होता है, किनारे वाले का दोगुना।
- जब एक कोना केंद्र O हो, तब चक्रीय चतुर्भुज का नियम लगाना। चारों कोने वृत्त पर होने चाहिए।
- जीवा के दोनों ओर के बिंदुओं पर "एक ही खंड" नियम लगाना। उलटी तरफ़ के कोण बराबर नहीं, बल्कि मिलकर 180° होते हैं।
- कोण का मान बिना कारण लिखना। हर बार प्रमेय का नाम लिखो।