वृत्त, त्रिज्या, जीवा और व्यास
वृत्त उन सब बिंदुओं का समूह है जो एक तय बिंदु, केंद्र, से बराबर दूरी पर हों। उस दूरी को त्रिज्या (r) कहते हैं। वृत्त की सब त्रिज्याएँ बराबर होती हैं।
जीवा वृत्त के दो बिंदुओं को मिलाने वाली सीधी रेखा है। व्यास वह जीवा है जो केंद्र से गुज़रती है। यह सबसे लंबी जीवा है और 2 × r के बराबर है।
जीवा केंद्र से जितनी दूर, उतनी छोटी। अगर जीवा केंद्र से d दूर है तो उसकी लंबाई 2 × √(r² − d²) है। केंद्र से जीवा पर डाला लंब जीवा को आधा-आधा बाँटता है।
रेखा और वृत्त
केंद्र से रेखा की दूरी d है। d की तुलना त्रिज्या r से करो।
- d < r: रेखा वृत्त को 2 बिंदुओं पर काटती है। यह छेदक रेखा है।
- d = r: रेखा ठीक 1 बिंदु पर छूती है। यह स्पर्श रेखा है।
- d > r: रेखा और वृत्त में कोई उभयनिष्ठ बिंदु नहीं।
स्पर्श रेखा और छेदक रेखा
जिस बिंदु पर स्पर्श रेखा छूती है उसे स्पर्श बिंदु कहते हैं। स्पर्श रेखा उस बिंदु तक खींची गई त्रिज्या पर लंब होती है (90°)।
वृत्त के बाहर के एक बिंदु से दो स्पर्श रेखाएँ खींची जा सकती हैं। वे लंबाई में बराबर होती हैं। अगर बाहर का बिंदु केंद्र से D दूर है तो हर स्पर्श रेखा की लंबाई √(D² − r²) है।
छेदक रेखा वृत्त को दो बिंदुओं पर काटती है। वृत्त के अंदर उसका टुकड़ा एक जीवा है।
कोण में बना वृत्त
वृत्त किसी कोण के अंदर बैठकर उसकी दोनों भुजाओं को छू सकता है। उसका केंद्र दोनों भुजाओं से बराबर दूरी पर है, इसलिए केंद्र कोण-समद्विभाजक पर होता है। शीर्ष से दोनों स्पर्श बिंदुओं की दूरी बराबर होती है (बराबर स्पर्श रेखाएँ)। केंद्र को समद्विभाजक पर खिसकाओ तो वृत्त बढ़ता या घटता है, पर दोनों भुजाओं को छूता रहता है।
अगर कोण 2φ है और केंद्र शीर्ष से t दूर है तो त्रिज्या = t × sin φ।
त्रिभुज का अंतःवृत्त और परिवृत्त
अंतःवृत्त त्रिभुज के अंदर बैठता है और तीनों भुजाओं को छूता है। उसका केंद्र तीनों कोण-समद्विभाजकों के मिलन-बिंदु पर होता है। पादों a, b और कर्ण c वाले समकोण त्रिभुज में उसकी त्रिज्या (a + b − c) / 2 होती है।
परिवृत्त तीनों शीर्षों से गुज़रता है। उसका केंद्र भुजाओं के तीनों लंब-समद्विभाजकों के मिलन-बिंदु पर होता है। समकोण त्रिभुज में केंद्र कर्ण का मध्य बिंदु होता है और त्रिज्या c / 2।
Try it: सिक्के से स्पर्श रेखा
स्केल के साथ एक सिक्का लुढ़काओ। जहाँ सिक्का स्केल को छूता है वह स्पर्श बिंदु है। सिक्के के बीच से उस बिंदु तक पेंसिल रखो और सेट-स्क्वायर से जाँचो: पेंसिल (त्रिज्या) और स्केल (स्पर्श रेखा) समकोण बनाती हैं। पहले अनुमान लगाओ: स्केल को थोड़ा उठाओ तो वह एक बिंदु पर छुएगा या दो? जाँचो।
मुख्य सूत्र और परिभाषाएँ
- व्यास = 2 × त्रिज्या
- जीवा की लंबाई = 2 × √(r² − d²), d = केंद्र से दूरी
- रेखा और वृत्त: d < r छेदक, d = r स्पर्श, d > r कोई नहीं
- स्पर्श रेखा ⟂ त्रिज्या; स्पर्श रेखा की लंबाई = √(D² − r²)
- समकोण त्रिभुज: परिवृत्त त्रिज्या = c/2, अंतःवृत्त त्रिज्या = (a + b − c)/2
हल किए गए उदाहरण
1. वृत्त की त्रिज्या 7 सेमी है। व्यास ज्ञात करो।
व्यास = 2 x 7 = 14 सेमी।
2. वृत्त की त्रिज्या 5 सेमी है। एक जीवा केंद्र से 3 सेमी दूर है। जीवा की लंबाई ज्ञात करो।
आधी जीवा = √(5² − 3²) = √16 = 4। जीवा = 8 सेमी।
3. वृत्त की त्रिज्या 6 सेमी है। एक रेखा केंद्र से 6 सेमी दूर है। वह रेखा क्या है?
d = r, इसलिए रेखा स्पर्श रेखा है।
4. एक बिंदु 5 सेमी त्रिज्या वाले वृत्त के केंद्र से 13 सेमी दूर है। उस बिंदु से स्पर्श रेखा की लंबाई ज्ञात करो।
स्पर्श रेखा त्रिज्या पर लंब है, इसलिए स्पर्श रेखा² = 13² − 5² = 169 − 25 = 144। स्पर्श रेखा = 12 सेमी।
5. बाहर के बिंदु P से स्पर्श रेखा PA = 9 सेमी है। दूसरी स्पर्श रेखा PB ज्ञात करो।
एक बाहरी बिंदु से खींची स्पर्श रेखाएँ बराबर होती हैं, इसलिए PB = 9 सेमी।
6. 60° के कोण के अंदर एक वृत्त है जिसका केंद्र शीर्ष से 10 सेमी दूर है। त्रिज्या ज्ञात करो।
केंद्र समद्विभाजक पर है, इसलिए आधा कोण 30° है। त्रिज्या = 10 x sin 30° = 10 x 0.5 = 5 सेमी।
7. समकोण त्रिभुज की भुजाएँ 6, 8, 10 हैं। परिवृत्त और अंतःवृत्त की त्रिज्याएँ ज्ञात करो।
परिवृत्त त्रिज्या = c/2 = 10/2 = 5। अंतःवृत्त त्रिज्या = (6 + 8 − 10)/2 = 2।
आम गलतियाँ
- हर जीवा को व्यास मान लेना। सिर्फ़ केंद्र से गुज़रने वाली जीवा व्यास है।
- यह कहना कि स्पर्श रेखा दो बिंदुओं पर छूती है। वह ठीक एक बिंदु पर छूती है।
- यह भूलना कि स्पर्श रेखा त्रिज्या पर 90° होती है।
- वृत्तों को मिलाना: अंतःवृत्त अंदर है और भुजाओं को छूता है; परिवृत्त शीर्षों से गुज़रता है।