पहले ये शब्द समझो
वृत्त उन सब बिंदुओं का समूह है जो एक केंद्र O से बराबर दूरी पर हों। यह दूरी त्रिज्या (r) है।
किसी सीधी रेखा को वृत्त के पास रखो। सिर्फ़ तीन बातें हो सकती हैं:
- 0 साझा बिंदु: रेखा बाहर है, वृत्त से नहीं मिलती।
- 2 साझा बिंदु: रेखा वृत्त को काटती है। इसे छेदक रेखा कहते हैं।
- 1 साझा बिंदु: रेखा बस छूती है। इसे स्पर्श रेखा कहते हैं। छूने वाला बिंदु स्पर्श बिंदु है।
आसान जाँच: केंद्र से रेखा की दूरी d लो। d > r तो कोई बिंदु नहीं, d < r तो दो बिंदु, d = r तो एक बिंदु, यानी स्पर्श रेखा।
किसी बिंदु पर स्पर्श रेखा
मान लो एक छेदक रेखा वृत्त को A और B पर काटती है। इसे धीरे-धीरे बाहर खिसकाओ। A और B पास आते जाते हैं। आख़िर में दोनों मिलकर एक बिंदु बन जाते हैं। वही रेखा स्पर्श रेखा है।
कितनी स्पर्श रेखाएँ?
- वृत्त पर के एक बिंदु से: सिर्फ़ एक।
- वृत्त के अंदर के बिंदु से: कोई नहीं।
- वृत्त के बाहर के बिंदु से: ठीक दो।
प्रमेय 1: स्पर्श रेखा त्रिज्या पर लंब होती है
नियम: वृत्त के किसी बिंदु P पर स्पर्श रेखा, त्रिज्या OP पर लंब (90°) होती है।
क्यों? (आसान उपपत्ति)
- स्पर्श रेखा पर P के अलावा कोई और बिंदु Q लो।
- Q वृत्त के बाहर है, इसलिए OQ त्रिज्या से लंबी है: OQ > OP।
- यह हर Q के लिए सच है। तो OP, O से रेखा तक की सबसे छोटी दूरी है।
- किसी बिंदु से रेखा तक सबसे छोटी दूरी हमेशा लंब होती है। इसलिए OP ⟂ स्पर्श रेखा।
काम की बात: जहाँ त्रिज्या और स्पर्श रेखा मिलें, वहाँ समकोण लगाओ और पाइथागोरस प्रमेय का उपयोग करो।
प्रमेय 2: बाहरी बिंदु से दोनों स्पर्श रेखाएँ बराबर
नियम: वृत्त के बाहर बिंदु T से खींची गई स्पर्श रेखाएँ TP और TQ बराबर होती हैं।
क्यों?
- OP, OQ और OT को मिलाओ।
- ∠OPT = ∠OQT = 90° (प्रमेय 1)।
- OP = OQ (दोनों त्रिज्याएँ), OT दोनों में साझा।
- इसलिए त्रिभुज OPT ≅ OQT (RHS नियम)।
- तो TP = TQ (सर्वांगसम त्रिभुजों के संगत भाग)।
साथ में: OT, ∠PTQ को दो बराबर भागों में बाँटती है और ∠PTQ + ∠POQ = 180°।
लंबाई: TP = √(OT² − r²)।
घर पर करके देखो
चूड़ी से कागज़ पर वृत्त बनाओ। स्केल ऐसे रखो कि वह वृत्त को बस एक बिंदु P पर छुए, और रेखा खींचो। कागज़ के वृत्त को दो बार मोड़कर केंद्र ढूँढो। केंद्र को P से जोड़ो और चाँदे से कोण नापो: 90° मिलेगा। फिर बाहर एक बिंदु T लो, दोनों स्पर्श रेखाएँ खींचकर नापो। दोनों बराबर होंगी।
मुख्य सूत्र और परिभाषाएँ
- स्पर्श बिंदु पर स्पर्श रेखा ⟂ त्रिज्या: ∠OPT = 90°
- बाहरी बिंदु से: TP = TQ
- स्पर्श रेखा की लंबाई: TP = √(OT² − r²)
- ∠PTQ + ∠POQ = 180°
- d > r → 0 बिंदु, d = r → 1 (स्पर्श रेखा), d < r → 2 (छेदक)
हल किए गए उदाहरण
1. वृत्त पर के एक बिंदु से कितनी स्पर्श रेखाएँ खींची जा सकती हैं?
सिर्फ़ एक। उस बिंदु पर एक ही रेखा है जो वृत्त को काटे बिना छूती है।
2. त्रिज्या 5 सेमी है और बिंदु T केंद्र से 13 सेमी दूर है। T से स्पर्श रेखा की लंबाई ज्ञात करो।
त्रिभुज OPT में P पर 90° है। TP² = 13² − 5² = 169 − 25 = 144। तो TP = 12 सेमी।
3. T से स्पर्श रेखा 24 सेमी है और OT = 25 सेमी। त्रिज्या ज्ञात करो।
r² = 625 − 576 = 49, तो r = 7 सेमी।
4. T से स्पर्श रेखाएँ TP, TQ हैं और ∠PTQ = 70°। ∠POQ ज्ञात करो।
चतुर्भुज OPTQ में ∠OPT = ∠OQT = 90°। कुल 360°। ∠POQ = 360 − 90 − 90 − 70 = 110°।
5. TP और TQ स्पर्श रेखाएँ हैं, ∠PTQ = 50°। ∠TPQ ज्ञात करो।
TP = TQ, इसलिए त्रिभुज TPQ समद्विबाहु है। ∠TPQ = (180 − 50) ÷ 2 = 65°।
6. चतुर्भुज ABCD की चारों भुजाएँ एक वृत्त को छूती हैं। AB = 6, BC = 7, CD = 4 सेमी। AD ज्ञात करो।
हर कोने से स्पर्श रेखाएँ बराबर हैं, इसलिए AB + CD = BC + AD। 6 + 4 = 7 + AD, तो AD = 3 सेमी।
7. दो संकेंद्रीय वृत्तों की त्रिज्याएँ 5 सेमी और 3 सेमी हैं। बड़े वृत्त की वह जीवा जो छोटे वृत्त को छूती है, उसकी लंबाई ज्ञात करो।
जीवा छोटे वृत्त की स्पर्श रेखा है, इसलिए छोटी त्रिज्या उसके मध्य बिंदु पर 90° बनाती है। आधी जीवा = √(25 − 9) = 4 सेमी। पूरी जीवा = 8 सेमी।
आम गलतियाँ
- यह सोचना कि स्पर्श रेखा दो बिंदुओं पर छू सकती है। दो बिंदुओं पर मिलने वाली रेखा छेदक है।
- त्रिज्या और स्पर्श रेखा के बीच 90° लगाना भूल जाना। यही समकोण लगभग हर सवाल की चाबी है।
- पाइथागोरस में OT को छोटी भुजा मान लेना। OT कर्ण है: TP² = OT² − r²।
- यह कहना कि वृत्त के अंदर के बिंदु से एक स्पर्श रेखा बनती है। अंदर के बिंदु से कोई स्पर्श रेखा नहीं बनती।