सम बहुभुज क्या है?
बहुभुज सीधी भुजाओं से बनी बंद समतल आकृति है। यह सम तब है जब दो बातें सच हों: सभी भुजाएँ बराबर और सभी कोण बराबर। दोनों ज़रूरी हैं। आयत के कोण बराबर हैं पर भुजाएँ नहीं। समचतुर्भुज की भुजाएँ बराबर हैं पर कोण नहीं। दोनों सम नहीं हैं। वर्ग सम है।
नाम: समबाहु त्रिभुज (3), वर्ग (4), सम पंचभुज (5), षट्भुज (6), सप्तभुज (7), अष्टभुज (8), नवभुज (9), दशभुज (10), द्वादशभुज (12)।
अवयव
- शीर्ष: कोना। भुजा a: किनारा।
- केंद्र O: वह बिंदु जो हर शीर्ष से (और हर भुजा से) बराबर दूरी पर है।
- परित्रिज्या R: O से किसी शीर्ष तक की दूरी।
- शीर्षलंब / एपोथम r (अंतःत्रिज्या): O से भुजा के मध्य बिंदु तक की दूरी। यह भुजा पर लंब होती है।
- केंद्रीय कोण: O पर दो पास-पास के शीर्षों के बीच का कोण, 360° ÷ n।
- अंतः कोण: शीर्ष पर अंदर का कोण, (n − 2) × 180° ÷ n। बाह्य कोण = 360° ÷ n।
अंतर्वृत्त और परिवृत्त
हर सम बहुभुज के दो खास वृत्त होते हैं, दोनों का केंद्र O:
- परिवृत्त सभी शीर्षों से गुज़रता है। इसकी त्रिज्या R है। कहते हैं बहुभुज इस वृत्त में अंतर्निहित है।
- अंतर्वृत्त हर भुजा को उसके मध्य बिंदु पर छूता है। इसकी त्रिज्या r है।
ये क्यों बनते हैं? O को सभी शीर्षों से जोड़ो: n एक जैसे समद्विबाहु त्रिभुज बनते हैं (दो भुजाएँ R)। O से इनकी ऊँचाई सब में r है। इसलिए सब शीर्ष O से R दूर और सब भुजाएँ O से r दूर हैं।
ऐसे एक त्रिभुज में आधी भुजा, शीर्षलंब और R मिलकर समकोण त्रिभुज बनाते हैं, जिसमें O पर कोण 180°/n है। इसलिए R² = r² + (a/2)², और r हमेशा R से छोटा होता है।
R, r, भुजा और क्षेत्रफल के सूत्र
O पर 180°/n कोण वाले समकोण त्रिभुज से:
- a = 2R sin(180°/n), इसलिए R = a ÷ (2 sin(180°/n))
- a = 2r tan(180°/n), इसलिए r = a ÷ (2 tan(180°/n))
- r = R cos(180°/n)
| बहुभुज | R | r | R से a |
|---|---|---|---|
| समबाहु त्रिभुज | a/√3 | a/(2√3) | R√3 |
| वर्ग | a/√2 | a/2 | R√2 |
| सम षट्भुज | a | a√3/2 | R |
त्रिभुज के लिए ध्यान दो: r = R/2।
क्षेत्रफल
बहुभुज n त्रिभुजों से बना है, हर एक का आधार a और ऊँचाई r। इसलिए क्षेत्रफल = n × ½ × a × r = ½ × परिमाप × r। षट्भुज के लिए यह (3√3/2)a² आता है।
जैसे-जैसे n बढ़ता है, बहुभुज अपने वृत्त से चिपकता जाता है: परिमाप → 2πR और क्षेत्रफल → πR²। आर्किमिडीज़ ने 96 भुजाओं वाले बहुभुज से π का अनुमान इसी तरह लगाया था।
सम षट्भुज और वर्ग की रचना
षट्भुज (परकार और पटरी)
- केंद्र O और त्रिज्या R से वृत्त खींचो।
- परकार की चौड़ाई R ही रखो। नोक वृत्त पर कहीं रखकर वृत्त पर चाप लगाओ।
- नोक नए निशान पर रखो और दोहराओ। ठीक 6 निशान आते हैं, क्योंकि षट्भुज की भुजा R के बराबर है।
- निशानों को क्रम से जोड़ो। हर दूसरे निशान को जोड़ो तो समबाहु त्रिभुज बनता है।
वर्ग
- केंद्र O से वृत्त खींचो।
- एक व्यास AC खींचो।
- O से AC का लंब समद्विभाजक बनाओ; यह वृत्त को B और D पर काटता है।
- A, B, C, D जोड़ो। समकोणों को फिर से समद्विभाजित करो तो सम अष्टभुज बनता है।
करके देखो
3D के आखिरी चरण में n = 3, 4, 6 और फिर 12 रखो। देखने से पहले अंतः कोण का अनुमान लगाओ। फिर कागज़ पर 5 cm त्रिज्या का वृत्त खींचो और परकार को उसी चौड़ाई पर 6 बार घुमाओ। क्या छठा निशान पहले पर पड़ा? एक भुजा नापो: यह 5 cm होनी चाहिए।
मुख्य सूत्र और परिभाषाएँ
- केंद्रीय कोण = 360° ÷ n
- अंतः कोण = (n − 2) × 180° ÷ n; बाह्य कोण = 360° ÷ n
- R = a ÷ (2 sin(180°/n)); r = a ÷ (2 tan(180°/n)); r = R cos(180°/n)
- R² = r² + (a/2)²
- त्रिभुज: R = a/√3, r = a/(2√3); वर्ग: R = a/√2, r = a/2; षट्भुज: R = a, r = a√3/2
- क्षेत्रफल = ½ × परिमाप × r = ½ n a r
हल किए गए उदाहरण
1. सम अष्टभुज का अंतः कोण निकालो।
n = 8। अंतः कोण = (8 − 2) × 180° ÷ 8 = 1080° ÷ 8 = 135°।
2. एक सम बहुभुज का हर अंतः कोण 140° है। इसकी कितनी भुजाएँ हैं?
बाह्य कोण = 180° − 140° = 40°। n = 360° ÷ 40° = 9। यह नवभुज है।
3. एक वर्ग की भुजा 4 cm है। R और r निकालो।
r = a/2 = 2 cm। R = a/√2 = 4/1.414 ≈ 2.83 cm। जाँच: R² = 2² + 2² = 8, R = √8 ≈ 2.83 ✓।
4. समबाहु त्रिभुज की भुजा 6 cm है। R और r निकालो।
R = a/√3 = 6/1.732 ≈ 3.46 cm (= 2√3)। r = a/(2√3) = 6/3.464 ≈ 1.73 cm (= √3)। ध्यान दो r = R/2।
5. 5 cm त्रिज्या के वृत्त में सम षट्भुज बना है। इसकी भुजा, शीर्षलंब और क्षेत्रफल निकालो।
षट्भुज में a = R = 5 cm। r = a√3/2 = 5 × 0.866 ≈ 4.33 cm। क्षेत्रफल = ½ × परिमाप × r = ½ × 30 × 4.33 ≈ 64.95 cm²।
6. एक वर्ग का शीर्षलंब 3 cm है। इसके परिवृत्त की त्रिज्या निकालो।
r = a/2, तो a = 6 cm। R = a/√2 = 6/√2 = 3√2 ≈ 4.24 cm। (या R = r ÷ cos 45° = 3 ÷ 0.707।)
7. सम पंचभुज की भुजा 10 cm है। R और r निकालो (sin 36° ≈ 0.588, tan 36° ≈ 0.727)।
180°/5 = 36°। R = 10 ÷ (2 × 0.588) ≈ 8.51 cm। r = 10 ÷ (2 × 0.727) ≈ 6.88 cm। क्षेत्रफल = ½ × 50 × 6.88 ≈ 172 cm²।
आम गलतियाँ
- समचतुर्भुज या आयत को सम कहना। सम के लिए बराबर भुजाएँ और बराबर कोण, दोनों चाहिए।
- R और r को मिला देना: R कोने तक जाती है, r भुजा के बीच तक (और छोटी होती है)।
- 360°/n को अंतः कोण मान लेना। वह केंद्रीय (और बाह्य) कोण है; अंतः कोण = 180° − 360°/n।
- R = a/(2 sin …) में sin(360°/n) लेना। सूत्र में केंद्रीय कोण का आधा, 180°/n, आता है।