बहुभुज क्या है? भुजा, कोने और विकर्ण
बहुभुज सीधी भुजाओं वाली बंद आकृति है। त्रिभुज में 3 भुजाएँ, चतुर्भुज में 4, पंचभुज में 5, षट्भुज में 6, सप्तभुज में 7 और अष्टभुज में 8 भुजाएँ होती हैं। भुजाओं की संख्या हमेशा कोनों (शीर्षों) की संख्या के बराबर होती है।
विकर्ण वह रेखा है जो दो ऐसे कोनों को जोड़ती है जो एक-दूसरे के पास नहीं हैं। भुजा विकर्ण नहीं होती। n भुजाओं वाले बहुभुज के एक कोने से (n − 3) विकर्ण खींचे जा सकते हैं, क्योंकि कोने को खुद से या अपने दो पड़ोसी कोनों से नहीं जोड़ सकते।
पूरे बहुभुज के कुल विकर्ण n × (n − 3) ÷ 2 होते हैं। 2 से भाग इसलिए देते हैं कि हर विकर्ण दोनों सिरों से गिना जाता है।
उत्तल और अवतल बहुभुज
उत्तल बहुभुज में अंदर का हर कोण 180° से छोटा होता है। अंदर के कोई भी दो बिंदु चुनिए, उन्हें जोड़ने वाली सीधी रेखा अंदर ही रहती है। उसके चारों ओर रबर बैंड बाँधो तो वह हर भुजा को छूता है।
अवतल (non-convex) बहुभुज में कम से कम एक अंदर का कोण 180° से बड़ा होता है। वह ऐसा दिखता है जैसे उसमें गड्ढा या धँसाव हो, जैसे तीर की नोक। ऐसे बहुभुज के कुछ विकर्ण आकृति के बाहर निकल जाते हैं।
नीचे वाला कोण-योग नियम उत्तल बहुभुज का है। धँसे हुए बहुभुज को धँसे कोने से सावधानी से त्रिभुजों में बाँटें तो उस पर भी यही चलता है।
उत्तल बहुभुज के कोणों का योग
एक कोना चुनिए और उससे सारे विकर्ण खींचिए। बहुभुज (n − 2) त्रिभुजों में बँट जाता है। इन त्रिभुजों के कोने मिलकर बहुभुज के कोनों को ठीक-ठीक भर देते हैं। हर त्रिभुज के कोणों का योग 180° है। इसलिए:
कोणों का योग = (n − 2) × 180°
जाँच: त्रिभुज (n = 3) में 180°। चतुर्भुज (n = 4) में 360°। पंचभुज में 540°। षट्भुज में 720°। हर नई भुजा एक और त्रिभुज जोड़ती है, यानी 180° और।
सम बहुभुज का एक कोण
सम बहुभुज में सारी भुजाएँ और सारे कोण बराबर होते हैं। इसलिए एक कोण = (n − 2) × 180° ÷ n। सम षट्भुज में 720° ÷ 6 = 120°। सम अष्टभुज में 1080° ÷ 8 = 135°।
हर कोने का बाहरी कोण = 180° − अंदर का कोण। किसी भी उत्तल बहुभुज के बाहरी कोणों का योग हमेशा 360° होता है, इसलिए सम बहुभुज का हर बाहरी कोण 360° ÷ n होता है।
करके देखिए
काग़ज़ पर पंचभुज बनाइए। एक कोना चुनकर उसके 2 विकर्ण खींचिए और 3 त्रिभुजों में रंग भरिए। अब हर त्रिभुज के तीनों कोने काटकर एक-दूसरे के पास रखिए। क्या हर बार सीधी रेखा (180°) बनती है? यही षट्भुज के साथ कीजिए और 4 त्रिभुज गिनिए।
मुख्य सूत्र और परिभाषाएँ
- एक कोने से विकर्ण = n − 3
- कुल विकर्ण = n(n − 3) ÷ 2
- एक कोने से बने त्रिभुज = n − 2
- उत्तल बहुभुज के कोणों का योग = (n − 2) × 180°
- सम बहुभुज का एक कोण = (n − 2) × 180° ÷ n
- उत्तल बहुभुज के बाहरी कोणों का योग = 360°
हल किए गए उदाहरण
1. षट्भुज के एक कोने से कितने विकर्ण खींचे जा सकते हैं और वे कितने त्रिभुज बनाते हैं?
n = 6। एक कोने से विकर्ण = 6 − 3 = 3। त्रिभुज = 6 − 2 = 4।
2. सप्तभुज (7 भुजाएँ) के अंतः कोणों का योग ज्ञात कीजिए।
योग = (7 − 2) × 180° = 5 × 180° = 900°।
3. सम अष्टभुज का एक कोण ज्ञात कीजिए।
योग = (8 − 2) × 180° = 1080°। एक कोण = 1080° ÷ 8 = 135°।
4. एक पंचभुज के चार कोण 100°, 110°, 120° और 90° हैं। पाँचवाँ कोण ज्ञात कीजिए।
पंचभुज का योग 540° है। चार कोणों का योग 100 + 110 + 120 + 90 = 420°। पाँचवाँ कोण = 540° − 420° = 120°।
5. किसी बहुभुज के कोणों का योग 1440° है। उसमें कितनी भुजाएँ हैं?
(n − 2) × 180° = 1440°, तो n − 2 = 8 और n = 10। यह दशभुज है।
6. एक सम बहुभुज का हर कोण 150° है। n ज्ञात कीजिए और पूरे बहुभुज के कुल विकर्ण भी निकालिए।
बाहरी कोण = 180° − 150° = 30°। n = 360° ÷ 30° = 12। कुल विकर्ण = 12 × 9 ÷ 2 = 54।
आम गलतियाँ
- (n − 2) × 180° की जगह n × 180° लिख देना। पहले हमेशा 2 घटाइए।
- भुजाओं को विकर्ण गिन लेना। विकर्ण उन कोनों को जोड़ता है जो पास-पास नहीं हैं।
- जो बहुभुज सम नहीं है, उसके योग को n से भाग देकर कोण निकालना। कोण तभी बराबर होते हैं जब बहुभुज सम हो।
- यह भूल जाना कि एक कोने से विकर्ण n − 3 होते हैं, n − 1 नहीं।