वृत्त में बना चतुर्भुज (चक्रीय चतुर्भुज)
चक्रीय चतुर्भुज वह चतुर्भुज है जिसके चारों शीर्ष एक ही वृत्त पर होते हैं। इन चार बिंदुओं को सम-वृत्तीय (concyclic) कहते हैं।
मुख्य नियम: सामने के कोणों का योग 180° होता है। यानी ∠A + ∠C = 180° और ∠B + ∠D = 180°।
बाहरी कोण नियम: एक भुजा बढ़ाने पर उस शीर्ष का बाहरी कोण, सामने वाले भीतरी कोण के बराबर होता है।
विलोम: अगर किसी चतुर्भुज के सामने के कोणों की एक जोड़ी का योग 180° है, तो वह चक्रीय है।
सामने के कोणों का योग 180° क्यों?
केंद्र O लो। चाप BCD पर केंद्र पर बना कोण ∠A का दुगुना है। दूसरे चाप BAD पर केंद्र का कोण ∠C का दुगुना है। दोनों केंद्रीय कोण मिलकर पूरा चक्कर, 360°, बनाते हैं। इसलिए 2∠A + 2∠C = 360°, यानी ∠A + ∠C = 180°।
कौन से चतुर्भुज चक्रीय हो सकते हैं? वर्ग, आयत और समद्विबाहु समलंब हमेशा। समांतर चतुर्भुज तभी चक्रीय है जब वह आयत हो, क्योंकि उसके सामने के कोण बराबर हैं और उनका योग भी 180° होना चाहिए, तो हर कोण 90° है। वर्ग न होने वाला समचतुर्भुज कभी चक्रीय नहीं होता।
वृत्त के चारों ओर बना चतुर्भुज (स्पर्शरेखीय)
स्पर्शरेखीय चतुर्भुज के अंदर एक वृत्त होता है जो चारों भुजाओं को छूता है। हर भुजा वृत्त की स्पर्श-रेखा है। एक शीर्ष से वृत्त पर खींची दोनों स्पर्श-रेखाओं की लंबाई बराबर होती है। इन बराबर जोड़ियों को घूमकर जोड़ने पर:
AB + CD = BC + DA (सामने की भुजाओं के योग बराबर)। यह पिटो प्रमेय है।
विलोम भी सत्य है: सामने की भुजाओं के योग बराबर हों तो अंदर वृत्त बैठता है। वर्ग, समचतुर्भुज और पतंग (काइट) में अंतःवृत्त होता है। अंतःवृत्त वाली आकृति का क्षेत्रफल = r × s, जहाँ r अंतःत्रिज्या और s परिमाप का आधा है।
एक आकृति दोनों हो सकती है: वर्ग चक्रीय भी है और स्पर्शरेखीय भी।
थेल्स (अंतःखंड) प्रमेय का विलोम
अंतःखंड प्रमेय: त्रिभुज की एक भुजा के समांतर रेखा बाकी दो भुजाओं को एक ही अनुपात में बाँटती है। विलोम: अगर कोई रेखा त्रिभुज की दो भुजाओं को एक ही अनुपात में बाँटे, तो वह तीसरी भुजा के समांतर होती है।
त्रिभुज ABC में D, AB पर और E, AC पर है। अगर AD/DB = AE/EC तो DE ∥ BC। इससे दो रेखाओं का समांतर होना जल्दी सिद्ध होता है, और यह देखने में मदद मिलती है कि चतुर्भुज समलंब है या नहीं।
परीक्षा में कैसे प्रश्न आते हैं
- ∠A + ∠C = 180° से छूटा कोण निकालना।
- सिद्ध करना कि चार बिंदु एक वृत्त पर हैं (विलोम से)।
- बढ़ी हुई भुजा वाली आकृति में बाहरी कोण नियम।
- स्पर्शरेखीय चतुर्भुज की छूटी भुजा निकालना।
- सिद्ध करना कि चक्रीय समांतर चतुर्भुज आयत है।
घर पर करके देखो
कटोरी या सिक्के से एक वृत्त खींचो। उस पर चार बिंदु लगाकर जोड़ो। चाँदे से सामने के कोण नापकर जोड़ो। क्या लगभग 180° आया? अब कागज़ से पतंग जैसी आकृति काटो और देखो कि क्या सिक्का उसके अंदर चारों भुजाओं को छूते हुए बैठता है। फिर सामने की भुजाओं के योग जाँचो।
मुख्य सूत्र और परिभाषाएँ
- चक्रीय: ∠A + ∠C = 180°, ∠B + ∠D = 180°
- बाहरी कोण = सामने का भीतरी कोण
- स्पर्शरेखीय: AB + CD = BC + DA
- स्पर्शरेखीय चतुर्भुज का क्षेत्रफल = r × s (s = परिमाप का आधा)
- थेल्स का विलोम: AD/DB = AE/EC ⟹ DE ∥ BC
हल किए गए उदाहरण
1. ABCD चक्रीय है और ∠A = 75° है। ∠C ज्ञात करो।
सामने के कोणों का योग 180° है। ∠C = 180° − 75° = 105°।
2. ABCD चक्रीय है और ∠B = 110° है। ∠D ज्ञात करो।
∠D = 180° − 110° = 70°।
3. चक्रीय चतुर्भुज में भुजा AB को P तक बढ़ाया। B पर बाहरी कोण 85° है। D का भीतरी कोण ज्ञात करो।
B का बाहरी कोण, सामने के भीतरी कोण ∠D के बराबर है। इसलिए ∠D = 85°। (जाँच: ∠B = 180° − 85° = 95°, और 95° + 85° = 180°।)
4. चक्रीय चतुर्भुज के कोण A, B, C का अनुपात 2 : 3 : 4 है। चारों कोण ज्ञात करो।
∠A + ∠C = 180°, तो 2x + 4x = 180°, x = 30°। ∠A = 60°, ∠B = 90°, ∠C = 120°। ∠D = 180° − 90° = 90°।
5. चतुर्भुज की भुजाएँ AB = 7, BC = 6, CD = 9 हैं और एक वृत्त चारों भुजाओं को छूता है। DA ज्ञात करो।
AB + CD = 7 + 9 = 16। यह BC + DA = 6 + DA के बराबर है। इसलिए DA = 10।
6. स्पर्शरेखीय चतुर्भुज का परिमाप 36 सेमी और अंतःत्रिज्या 4 सेमी है। क्षेत्रफल ज्ञात करो।
s = 36 ÷ 2 = 18 सेमी। क्षेत्रफल = r × s = 4 × 18 = 72 सेमी²।
7. सिद्ध करो: वृत्त में बना समांतर चतुर्भुज आयत होता है।
समांतर चतुर्भुज में सामने के कोण बराबर: ∠A = ∠C। चक्रीय में ∠A + ∠C = 180°। इसलिए 2∠A = 180°, ∠A = 90°। एक समकोण वाला समांतर चतुर्भुज आयत है।
8. त्रिभुज ABC में D, AB पर है: AD = 3, DB = 6 और E, AC पर है: AE = 2, EC = 4। क्या DE ∥ BC है?
AD/DB = 3/6 = 1/2 और AE/EC = 2/4 = 1/2। अनुपात बराबर हैं, इसलिए अंतःखंड प्रमेय के विलोम से DE ∥ BC।
आम गलतियाँ
- सामने के कोण (A + C) की जगह पास-पास के कोण (A + B) जोड़ देना।
- 180° वाला नियम ऐसे चतुर्भुज पर लगाना जिसके सारे कोने एक वृत्त पर नहीं हैं।
- दोनों नियम गड़बड़ाना: कोण वाला नियम चक्रीय का है, भुजा वाला स्पर्शरेखीय का।
- हर समांतर चतुर्भुज को चक्रीय मान लेना। केवल आयत चक्रीय है।