किरण और कोण की माप
रेखा दोनों ओर अनंत तक जाती है। रेखाखंड के दो अंत बिंदु होते हैं। किरण का एक अंत बिंदु होता है और वह एक ओर अनंत तक जाती है, जैसे टॉर्च की रोशनी।
एक ही बिंदु से निकली दो किरणें कोण बनाती हैं। साझा बिंदु शीर्ष है और किरणें भुजाएँ। घुमाव को अंश (डिग्री) में नापते हैं; पूरा चक्कर 360° है।
| प्रकार | माप |
|---|---|
| न्यून कोण | 0° से अधिक, 90° से कम |
| समकोण | ठीक 90° |
| अधिक कोण | 90° से अधिक, 180° से कम |
| ऋजु कोण | ठीक 180° |
| प्रतिवर्ती कोण | 180° से अधिक, 360° से कम |
जिन दो कोणों का योग 90° हो वे पूरक हैं; जिनका योग 180° हो वे संपूरक हैं। आसन्न कोणों का शीर्ष और एक भुजा साझा होती है, और वे एक-दूसरे पर नहीं चढ़ते।
रैखिक युग्म और शीर्षाभिमुख कोण
रैखिक युग्म: अगर कोई किरण एक रेखा पर खड़ी हो, तो बने दो आसन्न कोणों का योग 180° होता है। इसे रैखिक युग्म अभिगृहीत कहते हैं। उल्टा भी माना जाता है: अगर दो आसन्न कोणों का योग 180° हो, तो उनकी बाहरी भुजाएँ एक सीधी रेखा बनाती हैं।
शीर्षाभिमुख कोण बराबर होते हैं
दो रेखाएँ काटें तो चार कोण बनते हैं। घूमते हुए उन्हें ∠1, ∠2, ∠3, ∠4 नाम दो।
- ∠1 + ∠2 = 180° (एक रेखा पर रैखिक युग्म)
- ∠2 + ∠3 = 180° (दूसरी रेखा पर रैखिक युग्म)
- तो ∠1 + ∠2 = ∠2 + ∠3। दोनों ओर से ∠2 हटाओ: ∠1 = ∠3।
इसी तरह ∠2 = ∠4। यह एक सही उपपत्ति (प्रमाण) है: हर चरण पहले से मानी हुई बात से निकलता है।
समांतर रेखाएँ और तिर्यक रेखा
समांतर रेखाएँ एक ही तल में होती हैं और कभी नहीं मिलतीं; हम l ∥ m लिखते हैं। तिर्यक रेखा वह रेखा है जो दो या अधिक रेखाओं को अलग-अलग बिंदुओं पर काटे। इससे 8 कोण बनते हैं: हर कटान पर 4।
- संगत कोण (F आकार): दोनों कटानों पर एक ही जगह वाले कोण। l ∥ m हो तो बराबर।
- एकांतर अंतः कोण (Z आकार): दोनों रेखाओं के अंदर, तिर्यक रेखा के उल्टी ओर। l ∥ m हो तो बराबर।
- तिर्यक रेखा के एक ही ओर के अंतः कोण (सह-अंतः, C आकार): l ∥ m हो तो योग 180°।
विलोम
अगर तिर्यक रेखा बराबर संगत कोण (या बराबर एकांतर कोण, या 180° योग वाले सह-अंतः कोण) बनाए, तो दोनों रेखाएँ समांतर हैं। और एक ही रेखा के समांतर दो रेखाएँ आपस में भी समांतर होती हैं।
विरोधाभास द्वारा उपपत्ति
कभी-कभी किसी कथन को सिद्ध करने का सबसे आसान तरीका है: मान लो वह गलत है, और दिखाओ कि इससे कुछ असंभव (विरोधाभास) निकलता है। तब कथन सही ही होगा।
उदाहरण: तिर्यक रेखा से बने सह-अंतः कोणों का योग 180° है। सिद्ध करो कि l और m कभी नहीं मिल सकतीं।
- मान लो l और m किसी बिंदु P पर मिलती हैं। तब l, m और तिर्यक रेखा से एक त्रिभुज बनेगा।
- इस त्रिभुज के दो कोण वही सह-अंतः कोण हैं, जिनका योग पहले ही 180° है।
- P पर तीसरा कोण 0° से बड़ा होगा, तो कुल योग 180° से अधिक हो जाएगा।
- पर त्रिभुज के कोणों का योग हमेशा ठीक 180° होता है। विरोधाभास!
- तो हमारा मानना गलत था: l और m कभी नहीं मिलतीं। वे समांतर हैं।
याद रखो: उल्टा मानो → ध्यान से तर्क करो → असंभव बात तक पहुँचो → इसलिए मूल कथन सही है।
ख़ुद करके देखो (प्रयोग)
घर पर: कैंची खोलो। फलक X बनाते हैं। नीचे रखे कागज़ पर पेंसिल से चारों कोण बनाओ और चाँदे (प्रोट्रैक्टर) से नापो: आमने-सामने के कोण हर बार बराबर आएँगे।
कॉपी वाला प्रयोग: कॉपी की दो लाइनों के आर-पार एक तिरछी रेखा खींचो। दोनों कटानों पर ऊपर-दाएँ वाला कोण नापो। दोनों बराबर हैं, क्योंकि कॉपी की लाइनें समांतर हैं।
3D में: आख़िरी चरण पर जाओ। अनुमान लगाओ कि m को 10° झुकाने पर नीचे का कोण कितना होगा। फिर करके देखो।
मुख्य सूत्र और परिभाषाएँ
- रैखिक युग्म: ∠a + ∠b = 180°
- शीर्षाभिमुख कोण: ∠1 = ∠3, ∠2 = ∠4
- एक बिंदु के चारों ओर के कोण = 360°
- l ∥ m हो तो: संगत कोण बराबर (F)
- l ∥ m हो तो: एकांतर अंतः कोण बराबर (Z)
- l ∥ m हो तो: सह-अंतः कोणों का योग 180° (C)
हल किए गए उदाहरण
1. रैखिक युग्म का एक कोण 47° है। दूसरा निकालो।
दोनों का योग 180° है। दूसरा कोण = 180° − 47° = 133°।
2. दो रेखाएँ काटती हैं और एक कोण 72° है। बाकी तीन निकालो।
सामने वाला कोण = 72° (शीर्षाभिमुख)। हर पड़ोसी = 180° − 72° = 108° (रैखिक युग्म)। कोण: 72°, 108°, 72°, 108°।
3. रैखिक युग्म के कोण 2 : 3 के अनुपात में हैं। दोनों निकालो।
कोण 2x और 3x मानो। 2x + 3x = 180°, 5x = 180°, x = 36°। कोण: 72° और 108°।
4. l ∥ m है। तिर्यक रेखा l पर ऊपर-दाएँ 65° का कोण बनाती है। m पर संगत कोण और सह-अंतः कोण निकालो।
m पर संगत कोण = 65°। l पर नीचे-बाएँ का कोण भी 65° है (शीर्षाभिमुख), और उसके साथ m पर एक ही ओर का अंतः कोण = 180° − 65° = 115°।
5. समांतर रेखाओं पर दो सह-अंतः कोण (3x + 10)° और (2x − 5)° हैं। x निकालो।
सह-अंतः कोणों का योग 180°: 3x + 10 + 2x − 5 = 180, 5x + 5 = 180, 5x = 175, x = 35। कोण: 115° और 65°।
6. AB ∥ CD है। उनके बीच बिंदु E है, ∠BAE = 40° और ∠DCE = 30°। ∠AEC निकालो।
E से होकर AB के समांतर (इसलिए CD के भी समांतर) एक रेखा खींचो। यह ∠AEC को दो भागों में बाँटती है। एकांतर कोणों से एक भाग = 40° और दूसरा = 30°। ∠AEC = 40° + 30° = 70°।
7. विरोधाभास से सिद्ध करो: दो अलग-अलग रेखाएँ अधिक से अधिक एक बिंदु पर मिल सकती हैं।
मान लो दो अलग रेखाएँ दो बिंदुओं P और Q पर मिलती हैं। तब दोनों रेखाएँ P और Q से गुज़रती हैं। पर दो बिंदुओं से केवल एक ही रेखा गुज़रती है (यूक्लिड की अभिधारणा)। तो दोनों रेखाएँ एक ही हुईं — विरोधाभास। इसलिए वे अधिक से अधिक एक बिंदु पर मिलती हैं।
आम गलतियाँ
- यह सोचना कि शीर्षाभिमुख कोणों का योग 180° होता है: वे बराबर होते हैं; पड़ोसी कोणों का योग 180° होता है।
- रेखाएँ समांतर न हों फिर भी 'एकांतर कोण बराबर' लगाना: इस नियम के लिए l ∥ m ज़रूरी है।
- सह-अंतः और एकांतर कोण में उलझना: सह-अंतः (C) का योग 180°, एकांतर (Z) बराबर।
- विरोधाभास वाली उपपत्ति के अंत में यह न लिखना कि कौन-सा मानना गलत था।