बीजीय व्यंजक: पद, गुणांक और अचर
बीजीय व्यंजक में संख्याएँ और अक्षर +, −, ×, ÷ से जुड़े होते हैं। जैसे 4x² − 3x + 7.
- पद (term): + या − से अलग हुआ हर भाग। यहाँ पद हैं 4x², −3x और 7.
- चर (variable): वह अक्षर जिसका मान बदल सकता है, जैसे x.
- गुणांक (coefficient): चर के साथ लगी संख्या। x² का गुणांक 4, x का गुणांक −3.
- अचर (constant): बिना चर वाला पद, जैसे 7.
समान पद (like terms) में अक्षर और घात एक जैसे होते हैं, जैसे 5x और −2x. सिर्फ़ इन्हें जोड़ सकते हैं: 5x − 2x = 3x.
बहुपद क्या है?
x में बहुपद वह व्यंजक है जिसमें x की हर घात पूर्ण संख्या हो: 0, 1, 2, 3, …
- हाँ: 3x² + 2x − 1, x³ − 5, 7, ½x + 4.
- नहीं: 1/x (घात −1), √x (घात ½), x + 2/x².
बहुपद को p(x) लिखते हैं। p(2) निकालने के लिए x की जगह 2 रखो। p(x) = x² + 1 हो तो p(2) = 4 + 1 = 5.
पदों की गिनती से: एकपदी (1 पद, 5x³), द्विपदी (2 पद, x + 3), त्रिपदी (3 पद, x² + x + 1)।
बहुपद की घात
घात (degree) = चर की सबसे बड़ी घात जिसका गुणांक शून्य न हो।
- घात 0: अचर बहुपद, जैसे 9.
- घात 1: रैखिक, जैसे 2x + 3.
- घात 2: द्विघात, जैसे x² − 4x + 1.
- घात 3: त्रिघात, जैसे x³ + 2x.
पहले सरल करो। (x² + 3x) − x² = 3x की घात 1 है, 2 नहीं। दो चर हों तो हर पद में घातें जोड़ो: 3x²y³ की घात 5. शून्य बहुपद 0 की घात परिभाषित नहीं है।
रैखिक बहुपद: वृद्धि और ह्रास के मॉडल
जब कोई चीज़ हर कदम पर बराबर बदले, तो रैखिक बहुपद उसे बताता है।
- वृद्धि: गुल्लक में ₹50 हैं, हर हफ़्ते ₹20 डालते हो: S = 20x + 50.
- ह्रास: 24 cm की मोमबत्ती हर घंटे 3 cm जलती है: L = 24 − 3x. x = 8 पर खत्म।
तालिका जाँचो: अगर हर अगला मान पिछले से बराबर अंतर पर है, तो पैटर्न रैखिक है। 5, 8, 11, 14 → अंतर 3 → y = 3x + 5.
y = ax + b का ढाल और y-अंतःखंड
y = ax + b का आलेख एक सीधी रेखा है।
- ढाल a (slope) = ऊपर ÷ दाएँ = x में 1 बढ़ने पर y का बदलाव। a > 0: रेखा ऊपर जाती है। a < 0: नीचे आती है। a = 0: सपाट।
- y-अंतःखंड b (y-intercept) = x = 0 पर y का मान। रेखा y-अक्ष को (0, b) पर काटती है।
दो बिंदुओं (x₁, y₁), (x₂, y₂) से: a = (y₂ − y₁) ÷ (x₂ − x₁), फिर b = y₁ − a·x₁.
उदाहरण: (1, 5) और (3, 11). a = 6 ÷ 2 = 3, b = 5 − 3 = 2. तो y = 3x + 2.
करके देखो: एक प्रयोग
एक बोतल में निशान तक पानी भरो। हर मिनट एक छोटा कप पानी निकालो और रूलर से ऊँचाई नापो। तालिका बनाओ। क्या हर मिनट बराबर कमी हुई? तब ऊँचाई = b − ax. a (हर मिनट की कमी) और b (शुरुआती ऊँचाई) निकालो। फिर 3D में वही a और b रखकर मिलाओ।
बोर्ड परीक्षा कोना
1–3 अंक के आम प्रश्न: व्यंजक बहुपद है या नहीं; घात बताओ; रैखिक/द्विघात/त्रिघात पहचानो; p(a) निकालो; शब्द-प्रश्न से रैखिक नियम लिखो; y = ax + b या दो बिंदुओं से ढाल और अंतःखंड निकालो।
मुख्य सूत्र और परिभाषाएँ
- बहुपद: x की घातें पूर्ण संख्याएँ 0, 1, 2, …
- घात = शून्येतर गुणांक वाली सबसे बड़ी घात
- रैखिक: y = ax + b (a ≠ 0)
- ढाल a = (y₂ − y₁) ÷ (x₂ − x₁)
- y-अंतःखंड b = x = 0 पर y का मान
- वृद्धि: a > 0 · ह्रास: a < 0
हल किए गए उदाहरण
1. 5x² − 7x + 2 के पद, x का गुणांक और अचर पद बताओ।
पद: 5x², −7x, 2. x का गुणांक = −7. अचर = 2.
2. क्या x² + 1/x बहुपद है?
1/x = x⁻¹. घात −1 पूर्ण संख्या नहीं, इसलिए यह बहुपद नहीं है।
3. (x³ + 4x) − (x³ − 2) की घात बताओ।
सरल करो: x³ + 4x − x³ + 2 = 4x + 2. सबसे बड़ी घात 1, तो घात 1 (रैखिक)।
4. p(x) = 2x² − 3x + 1 हो तो p(2) और p(−1) निकालो।
p(2) = 8 − 6 + 1 = 3. p(−1) = 2 + 3 + 1 = 6.
5. ऑटो का किराया ₹40 और हर km के ₹15. किराए का बहुपद लिखो और 8 km का किराया निकालो।
F = 15x + 40. x = 8: F = 120 + 40 = ₹160. ढाल 15 = प्रति km, अंतःखंड 40 = तय शुल्क।
6. टंकी में 600 L पानी है, हर मिनट 25 L निकलता है। कब खाली होगी?
W = 600 − 25x. W = 0: 25x = 600, x = 24 मिनट। यह ह्रास है (ढाल −25)।
7. रेखा (2, 7) और (5, 16) से जाती है। y = ax + b निकालो।
a = (16 − 7) ÷ (5 − 2) = 3. b = 7 − 3 × 2 = 1. तो y = 3x + 1.
आम गलतियाँ
- 1/x या √x को बहुपद मानना। इनकी घातें (−1, ½) पूर्ण संख्या नहीं।
- सरल किए बिना घात बताना। पहले पद काटो, फिर सबसे बड़ी घात देखो।
- गुणांक का चिह्न भूलना: 4 − 3x में x का गुणांक −3 है, 3 नहीं।
- ढाल और अंतःखंड उलझाना: y = 5 + 2x में ढाल 2 है, अंतःखंड 5.