रैखिक फलन क्या है?
फलन एक नियम है जो हर इनपुट के लिए ठीक एक आउटपुट देता है। इनपुट को x और आउटपुट को y (या f(x)) कहते हैं।
फलन तब रैखिक है जब x के हर 1 बढ़ने पर y में एक-सी मात्रा बदले। इस तय बदलाव को परिवर्तन की दर कहते हैं।
हर रैखिक फलन को y = mx + c लिख सकते हैं। कुछ किताबें f(x) = mx + b या y = ax + b लिखती हैं। मतलब एक ही है।
- c = 0 हो तो y = mx। रेखा मूल बिंदु (0, 0) से जाती है। यह अनुक्रमानुपात है।
- c ≠ 0 हो तो कुछ किताबें इसे affine फलन कहती हैं।
सारणी, ग्राफ़ और नियम
एक रैखिक फलन चार तरह से दिखता है:
- शब्द: "संख्या को दुगना करो, फिर 1 जोड़ो"।
- नियम: y = 2x + 1।
- सारणी: x = 0, 1, 2, 3 से y = 1, 3, 5, 7। हर बार y में 2 बढ़ता है।
- ग्राफ़: (0, 1), (1, 3), (2, 5), (3, 7) बनाकर जोड़ें। सीधी रेखा मिलती है।
सारणी से जाँच: x बराबर कदमों में बढ़े और y के सारे अंतर बराबर हों, तो फलन रैखिक है।
ढाल और अंतःखंड
ढाल m
m = ऊपर ÷ आगे = (y में बदलाव) ÷ (x में बदलाव) = (y₂ − y₁) ÷ (x₂ − x₁)।
- m > 0: रेखा बाएँ से दाएँ चढ़ती है (वर्धमान)।
- m < 0: रेखा उतरती है (ह्रासमान)।
- m = 0: रेखा सपाट, y = c (अचर फलन)।
- |m| जितना बड़ा, रेखा उतनी खड़ी।
अंतःखंड
y-अंतःखंड: x = 0 रखें, y = c। बिंदु (0, c)।
x-अंतःखंड (शून्यक या मूल): y = 0 रखकर 0 = mx + c हल करें, x = −c ÷ m।
समांतर रेखाएँ
एक-सी ढाल वाली रेखाएँ कभी नहीं मिलतीं: वे समांतर हैं।
नियम निकालना और रोज़ के सवाल
दो बिंदुओं से: ढाल सूत्र से m निकालें, फिर एक बिंदु y = mx + c में रखकर c निकालें।
कहानी से: शुरू की तय रकम c (प्रारंभिक मान) है; हर इकाई की रकम m (दर) है।
रैखिक है या नहीं? y = 3x − 4 रैखिक है। y = x², y = 1/x और y = 2ˣ नहीं: इनके ग्राफ़ मुड़ते हैं और y के अंतर बराबर नहीं होते।
हल करना: फलन कब किसी मान तक पहुँचेगा, यह जानने के लिए y को उस मान के बराबर रखकर समीकरण हल करें। दो रेखाएँ वहाँ मिलती हैं जहाँ दोनों नियम एक ही y दें।
मुख्य सूत्र और परिभाषाएँ
- y = mx + c (f(x) = mx + b)
- m = ऊपर ÷ आगे = (y₂ − y₁) ÷ (x₂ − x₁)
- y-अंतःखंड: (0, c)
- x-अंतःखंड: x = −c ÷ m
- समांतर रेखाएँ: एक-सी m
- अनुक्रमानुपात: y = mx (c = 0)
हल किए गए उदाहरण
1. y = 3x − 2 के लिए x = 0, 1, 2, 3 की सारणी बनाइए।
x = 0: y = −2। x = 1: y = 1। x = 2: y = 4। x = 3: y = 7। हर बार y में 3 बढ़ता है, यही ढाल है।
2. y = −4x + 9 की ढाल और y-अंतःखंड बताइए।
y = mx + c से मिलाएँ: m = −4 (रेखा उतरती है), c = 9, यानी रेखा (0, 9) पर y-अक्ष काटती है।
3. (1, 3) और (4, 12) से जाने वाली रेखा की ढाल निकालिए।
m = (12 − 3) ÷ (4 − 1) = 9 ÷ 3 = 3।
4. (2, 5) और (6, 13) से जाने वाली रेखा का समीकरण निकालिए।
कदम 1: m = (13 − 5) ÷ (6 − 2) = 8 ÷ 4 = 2। कदम 2: (2, 5) को y = 2x + c में रखें: 5 = 4 + c, c = 1। उत्तर: y = 2x + 1।
5. y = 4x − 10 का x-अंतःखंड निकालिए।
y = 0 रखें: 0 = 4x − 10, 4x = 10, x = 2.5। रेखा (2.5, 0) पर x-अक्ष काटती है।
6. टैक्सी 50 तय और 12 प्रति km लेती है। नियम लिखिए, 8 km का किराया बताइए। 170 में कितनी दूर जा सकते हैं?
किराया y = 12x + 50। 8 km: 12 × 8 + 50 = 146। 170 के लिए: 12x + 50 = 170, 12x = 120, x = 10 km।
7. प्लान A: 100 + 5 प्रति GB; प्लान B: 20 प्रति GB। दोनों का खर्च कब बराबर होगा?
100 + 5x = 20x, 100 = 15x, x ≈ 6.67 GB। इससे कम पर B सस्ता, ज़्यादा पर A सस्ता।
आम गलतियाँ
- ढाल को आगे ÷ ऊपर लिखना। सही है ऊपर ÷ आगे: y का बदलाव ऊपर।
- क्रम बदल देना: (y₂ − y₁) ÷ (x₁ − x₂)। दोनों अंतर एक ही क्रम में लें।
- c को x-अक्ष का कटान मानना। c, y-अंतःखंड है; x-अंतःखंड −c ÷ m है।
- y = x² को रैखिक मानना क्योंकि उसमें x है। रैखिक नियम में x की घात केवल 1 होती है और ग्राफ़ सीधी रेखा।