खंडशः फलन क्या है?
खंडशः फलन दो या ज़्यादा नियमों से बना एक ही फलन है। हर नियम अपने अंतराल (x-अक्ष के एक हिस्से) पर चलता है। अंतराल आपस में नहीं टकराते, इसलिए हर x को ठीक एक उत्तर मिलता है।
इसे बड़े कोष्ठक से लिखते हैं:
f(x) = x + 2, यदि x < 1
f(x) = 5 − x, यदि x ≥ 1
जिस संख्या पर नियम बदलता है (यहाँ x = 1), उसे विभाजन बिंदु (break point) कहते हैं।
खंडशः फलन का मान निकालना
हमेशा इसी क्रम में दो क़दम:
- कहाँ? शर्तें देखिए और वह अंतराल ढूँढिए जिसमें x है।
- क्या? सिर्फ़ उसी नियम में x रखिए।
ऊपर वाले फलन में: f(−2): −2 < 1, तो x + 2 → 0। f(1): 1 ≥ 1, तो 5 − x → 4। f(3): 3 ≥ 1 → 2।
विभाजन बिंदु पर ध्यान दीजिए: चिह्न < है या ≤।
ग्राफ़ बनाना: खुले और भरे बिंदु, छलाँग
हर नियम का ग्राफ़ सिर्फ़ उसके अपने अंतराल पर बनाइए, जैसे पूरी रेखा से एक टुकड़ा काट लिया हो। हर सिरे पर:
- भरा बिंदु ● – सिरा इसी टुकड़े का है (≤ या ≥)।
- खाली बिंदु ○ – सिरा शामिल नहीं (< या >)।
अगर टुकड़े एक ही ऊँचाई पर मिलें, तो ग्राफ़ संतत (continuous) है। अलग ऊँचाई पर ख़त्म हों, तो ग्राफ़ में छलाँग (jump) है। किसी x के ऊपर दो भरे बिंदु नहीं हो सकते, वरना वह फलन नहीं (ऊर्ध्वाधर रेखा परीक्षण)।
प्रांत और परिसर
प्रांत (domain) अंतरालों से पढ़िए और परिसर (range) टुकड़ों की ऊँचाइयों से; सिरे का मान शामिल है या नहीं, यह बिंदु बताता है।
मापांक फलन (Absolute value)
मापांक |x| शून्य से x की दूरी है, इसलिए कभी ऋणात्मक नहीं: |−3| = 3, |3| = 3।
खंडशः रूप: |x| = −x यदि x < 0, और x यदि x ≥ 0। ग्राफ़ V आकार का है, कोना (शीर्ष) (0, 0) पर।
रूपांतरण: y = a|x − h| + k
- h, V को दाएँ (h > 0) या बाएँ खिसकाता है।
- k ऊपर (k > 0) या नीचे खिसकाता है।
- a ढलान बदलता है (ढलान a और −a); a < 0 हो तो V उल्टा खुलता है।
शीर्ष (h, k) है। |x − 2| = 3 हल करने के लिए दो भाग कीजिए: x − 2 = 3 या x − 2 = −3, यानी x = 5 या x = −1।
सीढ़ी फलन (Step functions)
सीढ़ी फलन ऐसा खंडशः फलन है जिसके सारे टुकड़े सपाट (अचर) हों। ग्राफ़ सीढ़ियों जैसा दिखता है।
- महत्तम पूर्णांक फलन (floor) ⌊x⌋: x से छोटा या बराबर सबसे बड़ा पूर्णांक। ⌊2.7⌋ = 2, ⌊−1.2⌋ = −2।
- सीलिंग ⌈x⌉: x से बड़ा या बराबर सबसे छोटा पूर्णांक। ⌈2.1⌉ = 3।
असली उदाहरण: वज़न के हिसाब से डाक शुल्क, हर शुरू हुए घंटे की पार्किंग, GB के हिसाब से डेटा प्लान। ₹20 प्रति शुरू हुआ घंटा: शुल्क = 20⌈t⌉ (t > 0)।
करके देखिए: घर पर किराया तालिका
कोई असली दर लीजिए, जैसे ऑटो किराया (पहले 2 km तय राशि, फिर प्रति km) या घर के बिजली बिल की स्लैब दरें। इसे खंडशः फलन के रूप में लिखिए। 5 मानों की तालिका बनाइए, ग्राफ़ पेपर पर बिंदु लगाइए और विभाजन बिंदुओं पर खुले-भरे बिंदु बनाइए। फिर अपने नियम से एक बिल जाँचिए। 3D के चरण 6 में V सेट कीजिए और x खिसकाने से पहले f(x) का अनुमान लगाइए।
मुख्य सूत्र और परिभाषाएँ
- f(x) = नियम 1 यदि x अंतराल 1 में; नियम 2 यदि x अंतराल 2 में …
- |x| = −x यदि x < 0; x यदि x ≥ 0
- y = a|x − h| + k: शीर्ष (h, k), ढलान ±a
- ⌊x⌋ = x से छोटा या बराबर सबसे बड़ा पूर्णांक; ⌈x⌉ = x से बड़ा या बराबर सबसे छोटा पूर्णांक
- |x − h| = c (c ≥ 0) ⇒ x = h + c या x = h − c
हल किए गए उदाहरण
1. f(x) = 3x यदि x < 2, और x + 4 यदि x ≥ 2। f(0), f(2) और f(5) ज्ञात कीजिए।
f(0): 0 < 2 → 3·0 = 0। f(2): 2 ≥ 2 → 2 + 4 = 6। f(5): 5 ≥ 2 → 5 + 4 = 9।
2. g(x) = 1 यदि x ≤ 0, और −x यदि x > 0। g(0) और g(0.5) ज्ञात कीजिए।
g(0): 0 ≤ 0 → 1। g(0.5): 0.5 > 0 → −0.5।
3. y = −2|x + 1| + 3 का शीर्ष और खुलने की दिशा बताइए।
इसे −2|x − (−1)| + 3 लिखिए: h = −1, k = 3। शीर्ष (−1, 3)। a = −2 < 0, इसलिए V नीचे की ओर खुलता है और (−1, 3) सबसे ऊँचा बिंदु है।
4. क्या f(x) = x + 1 (x < 2), 3 (x ≥ 2) x = 2 पर संतत है?
बायाँ टुकड़ा 2 + 1 = 3 पर (खाली बिंदु) ख़त्म होता है। दायाँ टुकड़ा 3 से (भरा बिंदु) शुरू होता है। ऊँचाई बराबर, कोई छलाँग नहीं: x = 2 पर संतत है।
5. |2x − 1| = 7 हल कीजिए।
दो भाग: 2x − 1 = 7 → x = 4, या 2x − 1 = −7 → x = −3। जाँच: |7| = 7, |−7| = 7। उत्तर x = 4 या x = −3।
6. बिजली पहली 100 यूनिट तक ₹5 प्रति यूनिट और उसके बाद ₹7 प्रति यूनिट है। बिल B(u) लिखिए और B(160) निकालिए।
B(u) = 5u यदि 0 ≤ u ≤ 100; B(u) = 500 + 7(u − 100) यदि u > 100। B(160) = 500 + 7·60 = 500 + 420 = ₹920।
7. पार्किंग ₹20 प्रति शुरू हुआ घंटा है। 2 घंटे 10 मिनट और ठीक 3 घंटे का शुल्क बताइए।
शुल्क = 20⌈t⌉। 2 घंटे 10 मिनट ≈ 2.17 h → ⌈2.17⌉ = 3 → ₹60। ठीक 3 h → ⌈3⌉ = 3 → ₹60।
आम गलतियाँ
- x को हर नियम में रख देना। सिर्फ़ वही नियम लीजिए जिसकी शर्त x पूरी करता है।
- विभाजन बिंदु पर गलत बिंदु: < और > पर खाली बिंदु, ≤ और ≥ पर भरा बिंदु।
- y = |x + 3| को दाएँ खिसकना समझना। x + 3 = x − (−3), इसलिए V 3 इकाई बाएँ जाता है।
- ⌊−1.5⌋ = −1 मान लेना। floor नीचे वाले पूर्णांक पर जाता है: ⌊−1.5⌋ = −2।