संयुक्त फलन: अंदर और बाहर
संयुक्त फलन f(g(x)) का मतलब: पहले g कीजिए, फिर उत्तर को f में डालिए। यदि f(x) = x² और g(x) = x − 2 है तो f(g(x)) = (x − 2)²। उलटे क्रम से g(f(x)) = x² − 2 मिलता है, जो अलग ग्राफ़ है।
y = f(x) के ग्राफ़ के त्वरित नियम:
- f(x − h): h इकाई दाएँ खिसकाइए (अंदर, बगल में, चिह्न से उल्टा)।
- f(x) + k: k इकाई ऊपर खिसकाइए (बाहर)।
- −f(x): x-अक्ष पर पलटिए। f(−x): y-अक्ष पर पलटिए।
- a·f(x): ऊपर-नीचे खींचिए। f(bx): बगल से सिकोड़िए।
सारी चालों का अलग पाठ है: फलनों के रूपांतरण।
ग्राफ़ पर निरपेक्ष मान: |f(x)| और f(|x|)
निरपेक्ष मान |a| a का परिमाण है बिना चिह्न के: |−3| = 3।
|f(x)| (बाहर): y = f(x) खींचिए। x-अक्ष पर या ऊपर के भाग रखिए। नीचे के भागों को ऊपर पलटिए (x-अक्ष में दर्पण)। परिणाम कभी शून्य से नीचे नहीं जाता।
f(|x|) (अंदर): y = f(x) सिर्फ़ x ≥ 0 के लिए खींचिए। बायाँ भाग हटाइए और उसकी जगह दाएँ भाग की दर्पण-प्रति रखिए। परिणाम y-अक्ष पर सममित होता है (सम फलन)।
उदाहरण: y = |x² − 2| के शून्यक ±√2 हैं और x = 0 पर शिखर मान 2। y = (|x| − 1)² के शून्यक ±1 हैं और x = 0 पर y = 1।
समीकरण का ज्यामितीय चित्र
x और y के समीकरण का ज्यामितीय चित्र (ग्राफ़) उन सब बिंदुओं (x, y) का समूह है जो उसे सत्य बनाते हैं।
- x² + y² = r²: केंद्र (0, 0) और त्रिज्या r का वृत्त। हर बिंदु केंद्र से r दूर है।
- |x| + |y| = r: हीरा (45° घुमा हुआ वर्ग) जिसके शीर्ष (±r, 0) और (0, ±r) हैं। क्षेत्रफल 2r²।
- y² = x: लेटा हुआ परवलय। यह y = √x और y = −√x का संयोजन है।
सुझाव: |x| + |y| = r बनाने के लिए सिर्फ़ पहले चतुर्थांश (x, y ≥ 0) में x + y = r खींचिए, फिर बाक़ी तीन चतुर्थांशों में दर्पण-प्रति बनाइए।
ऊर्ध्वाधर रेखा परीक्षण: यदि कोई ऊर्ध्वाधर रेखा चित्र को दो बार काटे तो एक x के दो y हैं, इसलिए वह फलन का ग्राफ़ नहीं है। वृत्त और y² = x फेल होते हैं; y = x², y = |x| पास।
ग्राफ़ बनाने की योजना
- प्रांत खोजिए (कौन-से x मान्य हैं)।
- अंतःखंड चिह्नित कीजिए (जहाँ अक्षों को काटता है)।
- सममिति जाँचिए (सम: y-अक्ष में दर्पण)।
- कुछ मुख्य बिंदु अंकित करके उन्हें चिकनाई से जोड़िए।
ग्राफ़ हल भी गिनते हैं: y = f(x) और y = g(x) जितनी बार मिलते हैं, उतने ही f(x) = g(x) के हल हैं।
करके देखिए: पहले अनुमान, फिर जाँच
3D बोर्ड पर y = (x − h)² चुनिए। अनुमान लगाइए कि h = 3 पर निम्नतम बिंदु कहाँ जाएगा, फिर h को 3 पर ले जाइए। |x| + |y| = r चुनिए और r = 3 के लिए क्षेत्रफल का अनुमान लगाइए (उत्तर 18)। घर पर: काग़ज़ को आधा मोड़िए, एक ओर दिल का आधा आकार बनाइए, रेखा पर काटिए और खोलिए। मोड़ की रेखा आपकी y-अक्ष है और आपने अभी f(|x|) बनाया।
मुख्य सूत्र और परिभाषाएँ
- f(x − h): shift right h; f(x) + k: shift up k
- |f(x)|: flip the part below the x-axis up
- f(|x|): keep x ≥ 0, mirror it to x < 0
- x² + y² = r²: circle, centre (0, 0), radius r
- |x| + |y| = r: diamond, area 2r²
- Vertical line test: one x must give one y
हल किए गए उदाहरण
1. f(x) = x², g(x) = x − 2। f(g(x)) और g(f(x)) ज्ञात कीजिए।
f(g(x)) = (x − 2)²: परवलय x² दाएँ 2 खिसका, निम्नतम बिंदु (2, 0)। g(f(x)) = x² − 2: परवलय 2 नीचे खिसका, निम्नतम बिंदु (0, −2)। दोनों अलग हैं।
2. y = |x² − 2| का ग्राफ़ बनाइए। शून्यक और y-अंतःखंड बताइए।
पहले x² − 2 खींचिए (निम्नतम बिंदु (0, −2), शून्यक ±√2 ≈ ±1.41)। शून्यकों के बीच का गड्ढा ऊपर पलटिए: बिंदु (0, −2), (0, 2) बन जाता है। शून्यक ±√2, y-अंतःखंड 2।
3. y = (|x| − 1)² का ग्राफ़ बनाइए।
x ≥ 0 के लिए यह (x − 1)² है: निम्नतम बिंदु (1, 0), और x = 0 पर मान 1। इसे बाईं ओर दर्पण-प्रति कीजिए: शून्यक x = ±1, y-अंतःखंड 1, (0, 1) पर छोटा उभार, अक्षर W जैसा।
4. |x| + |y| = 2 बनाइए और उसका क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।
शीर्ष (2, 0), (0, 2), (−2, 0), (0, −2)। यह वर्ग है जिसके विकर्ण 4 लंबे हैं। क्षेत्रफल = ½ × 4 × 4 = 8 (2r² = 2 × 4 = 8 भी)।
5. वृत्त x² + y² = 9 पर x = 2 के लिए y ज्ञात कीजिए।
4 + y² = 9, इसलिए y² = 5, y = ±√5 ≈ ±2.24। दो बिंदु: एक ऊपरी अर्ध में, एक निचले अर्ध में।
6. क्या y² = x का ग्राफ़ किसी फलन y = f(x) का ग्राफ़ है?
नहीं। ऊर्ध्वाधर रेखा x = 4 इसे y = 2 और y = −2 पर काटती है: एक x, दो y। यह दो फलन-ग्राफ़ का मेल है: y = √x (ऊपरी) और y = −√x (निचला)।
7. (x − 2)² = |x| के कितने हल हैं?
y = (x − 2)² और y = |x| खींचिए। x ≥ 0: x² − 4x + 4 = x से x² − 5x + 4 = 0, यानी x = 1 या 4। x < 0: x² − 3x + 4 = 0 का D = 9 − 16 < 0, कोई नहीं। इसलिए 2 हल। ग्राफ़ भी यही दिखाता है: दाईं ओर दो कटान बिंदु।
8. f(x) = √x और g(x) = x² − 4। f(g(x)) का प्रांत ज्ञात कीजिए।
f(g(x)) = √(x² − 4)। x² − 4 ≥ 0 चाहिए, यानी x ≤ −2 या x ≥ 2। ग्राफ़ की दो अलग भुजाएँ हैं: एक (2, 0) से दाएँ, एक (−2, 0) से बाएँ।
आम गलतियाँ
- (x − 2)² को बाएँ खिसकाना। अंदर का ऋण चिह्न ग्राफ़ को दाएँ ले जाता है।
- f(g(x)) और g(f(x)) को मिला देना। क्रम मायने रखता है: अंदर वाला पहले होता है।
- |f(x)| और f(|x|) को एक समझना। एक नीचे का भाग ऊपर पलटता है; दूसरा दायाँ भाग दर्पण करता है।
- हर वक्र को फलन का ग्राफ़ कहना। वृत्त ऊर्ध्वाधर रेखा परीक्षण में फेल होता है।