परिमेय फलनों के ग्राफ़ और अनंतस्पर्शी
परिमेय फलन एक बहुपद को दूसरे से भाग देकर बनता है, जैसे y = (x + 1)/(x − 2)।
अनंतस्पर्शी (asymptote) वह रेखा है जिसके वक्र (दूर जाकर) पास-पास आता जाता है पर छूता नहीं।
- ऊर्ध्वाधर अनंतस्पर्शी: जहाँ हर 0 हो (और अंश नहीं)। यहाँ x = 2।
- क्षैतिज अनंतस्पर्शी (रैखिक/रैखिक): y = (अंश में x का गुणांक)/(हर में x का गुणांक)। यहाँ y = 1।
- द्विघात/द्विघात में क्षैतिज अनंतस्पर्शी x² गुणांकों का अनुपात है। अगर अंश की घात एक ज़्यादा है, तो भाग देकर तिरछी अनंतस्पर्शी मिलती है।
ग्राफ़ बनाने की सूची
- अनंतस्पर्शी।
- अक्षों से कटान: x = 0 से y-अंतःखंड; अंश = 0 से x-अंतःखंड।
- हर ऊर्ध्वाधर अनंतस्पर्शी के ठीक बाएँ और दाएँ y का चिह्न।
- चिकना जोड़ो, ऊर्ध्वाधर अनंतस्पर्शी कभी पार न करो।
द्विघात बटा द्विघात: बिना कलन के परिसर
y = (x² + …)/(x² + …) हर y मान नहीं लेता। कौन-से मान लेता है, यह जानने के लिए:
- y = k रखो और गुणा करो: k(हर) = अंश।
- x में द्विघात बनाओ।
- वास्तविक x तभी है जब विविक्तकर ≥ 0 (b² − 4ac ≥ 0)।
- k में यह असमिका हल करो। यही परिसर है, और सिरे वाले मान मोड़ बिंदुओं के y-मान हैं।
उदाहरण: y = x/(x² + 1)। k(x² + 1) = x → kx² − x + k = 0। विविक्तकर 1 − 4k² ≥ 0 → −1/2 ≤ k ≤ 1/2। परिसर −½ ≤ y ≤ ½।
शांकव: परवलय, दीर्घवृत्त, अतिपरवलय
शंकु को अलग-अलग कोण पर काटने से शांकव परिच्छेद मिलते हैं।
- परवलय y² = 4ax: शीर्ष (0, 0), नाभि (a, 0), नियता x = −a। प्राचलिक रूप (at², 2at)।
- दीर्घवृत्त x²/a² + y²/b² = 1: (±a, 0) और (0, ±b) पर काटता है। a = b हो तो वृत्त। प्राचलिक (a cos t, b sin t)।
- अतिपरवलय x²/a² − y²/b² = 1: (±a, 0) पर काटता है, y-अक्ष से कभी नहीं मिलता, अनंतस्पर्शी y = ±(b/a)x। प्राचलिक (a cosh t, b sinh t) या (a sec t, b tan t)।
- आयतीय अतिपरवलय xy = c²: अनंतस्पर्शी दोनों अक्ष। प्राचलिक (ct, c/t)।
नाभि एक ख़ास भीतरी बिंदु है। दीर्घवृत्त में नाभियाँ (±c, 0), c² = a² − b²; अतिपरवलय में c² = a² + b²।
ग्राफ़ रूपांतरण
- x की जगह (x − p): p दाएँ खिसकाओ।
- y की जगह (y − q): q ऊपर।
- x की जगह x/s: क्षैतिज s गुना खिंचाव।
- y की जगह y/s: ऊर्ध्वाधर s गुना खिंचाव।
- x और y अदला-बदली: y = x में प्रतिबिंब।
- x की जगह −x (या y की जगह −y): y-अक्ष (या x-अक्ष) में प्रतिबिंब।
उदाहरण: (x − 3)²/16 + (y + 1)²/4 = 1 दीर्घवृत्त x²/16 + y²/4 = 1 है जो 3 दाएँ और 1 नीचे खिसका है। केंद्र (3, −1)। अनंतस्पर्शी, नाभियाँ और शीर्ष भी वक्र के साथ खिसकते हैं।
बहुपद और परिमेय असमिकाएँ
जिसका चिह्न पता न हो (जैसे x − 2), उससे दोनों तरफ़ गुणा कभी मत करो। इसके बजाय:
- सब कुछ एक तरफ़ लाओ: f(x) > 0।
- एक भिन्न बनाओ और अंश-हर के गुणनखंड करो।
- क्रांतिक मान निकालो: अंश और हर के शून्य।
- हर अंतराल में चिह्न जाँचो (या ग्राफ़ देखो)।
- ज़रूरी अंतराल चुनो। हर के शून्य कभी शामिल नहीं।
दूसरा सुरक्षित तरीका: दोनों तरफ़ (x − 2)² से गुणा करो, जो हमेशा धनात्मक है।
उदाहरण: (x + 1)/(x − 2) > 2 → (5 − x)/(x − 2) > 0। क्रांतिक मान 2 और 5। इनके बीच धनात्मक: 2 < x < 5।
खुद करके देखो: धागे से दीर्घवृत्त
गत्ते में लगभग 8 cm दूर दो पिन लगाओ। उनके चारों ओर धागे का फंदा डालो, पेंसिल से कसकर खींचो और पूरा घुमाओ। दीर्घवृत्त बनेगा; पिन ही नाभियाँ हैं। पिन पास लाओ: आकार वृत्त जैसा होता जाता है। फिर फ़्री प्ले में स्लाइडर से दीर्घवृत्त खींचो।
मुख्य सूत्र और परिभाषाएँ
- ऊर्ध्वाधर अनंतस्पर्शी: हर = 0; क्षैतिज (बराबर घात): मुख्य गुणांकों का अनुपात
- y = P(x)/Q(x) का परिसर: y = k रखो, विविक्तकर ≥ 0
- परवलय y² = 4ax, नाभि (a, 0), नियता x = −a
- दीर्घवृत्त x²/a² + y²/b² = 1, नाभियाँ (±c, 0), c² = a² − b²
- अतिपरवलय x²/a² − y²/b² = 1, अनंतस्पर्शी y = ±(b/a)x, c² = a² + b²
- आयतीय अतिपरवलय xy = c²
- खिसकाना: x → x − p (p दाएँ), y → y − q (q ऊपर); खिंचाव: x → x/s
हल किए गए उदाहरण
1. y = (3x − 1)/(x + 4) के अनंतस्पर्शी बताओ।
x = −4 पर हर 0 → ऊर्ध्वाधर अनंतस्पर्शी x = −4। गुणांक 3/1 → क्षैतिज अनंतस्पर्शी y = 3।
2. y = (2x − 6)/(x + 1) अक्षों को कहाँ काटता है?
x = 0: y = −6, यानी (0, −6)। अंश = 0: x = 3, यानी (3, 0)।
3. परवलय y² = 12x की नाभि और नियता निकालो।
4a = 12 → a = 3। नाभि (3, 0), नियता x = −3।
4. x²/25 + y²/9 = 1 की नाभियाँ निकालो।
a = 5, b = 3, c² = 25 − 9 = 16, c = 4। नाभियाँ (±4, 0)।
5. x²/4 − y²/9 = 1 से (x + 2)²/4 − (y − 1)²/9 = 1 का रूपांतरण बताओ और नए अनंतस्पर्शी दो।
2 बाएँ और 1 ऊपर। पुराने y = ±(3/2)x बनते हैं y − 1 = ±(3/2)(x + 2)।
6. बिना कलन के y = (x² + 1)/(x² + x + 1) का परिसर निकालो।
k(x² + x + 1) = x² + 1 → (k − 1)x² + kx + (k − 1) = 0। विविक्तकर k² − 4(k − 1)² ≥ 0 → (2 − k)(3k − 2) ≥ 0 → 2/3 ≤ k ≤ 2। परिसर 2/3 ≤ y ≤ 2।
7. x² − x − 6 < 0 और (x − 1)/(x + 3) ≤ 0 हल करो।
(x − 3)(x + 2) < 0 → −2 < x < 3। भिन्न: क्रांतिक मान 1 और −3; बीच में ऋणात्मक, x = 1 पर शून्य (शामिल), x = −3 नहीं → −3 < x ≤ 1।
आम गलतियाँ
- चिह्न जाने बिना असमिका को (x − 2) से गुणा करना। क्रांतिक मान लो या (x − 2)² से गुणा करो।
- परिमेय असमिका के उत्तर में हर को शून्य करने वाला मान शामिल करना।
- उल्टी दिशा में खिसकाना: (x − 3) ग्राफ़ को दाएँ ले जाता है, बाएँ नहीं।
- दीर्घवृत्त और अतिपरवलय की नाभि मिलाना: दीर्घवृत्त c² = a² − b², अतिपरवलय c² = a² + b²।