शंकु के परिच्छेद
द्वि-शंकु एक तिरछी रेखा (जनक रेखा) को एक स्थिर अक्ष के चारों ओर घुमाने से बनता है। दोनों हिस्से नैपे कहलाते हैं। शीर्ष से न गुज़रने वाले समतल से काटो:
- अक्ष पर लंब समतल → वृत्त।
- थोड़ा झुका → दीर्घवृत्त (बंद अंडाकार)।
- जनक रेखा के समांतर → परवलय (एक खुला वक्र)।
- और झुका, दोनों नैपे को काटे → अतिपरवलय (दो खुली शाखाएँ)।
अपभ्रष्ट शंकु परिच्छेद
समतल शीर्ष से गुज़रे तो कट "सिकुड़" जाता है:
- वृत्त/दीर्घवृत्त जैसा कट → केवल एक बिंदु;
- परवलय जैसा कट → एक सरल रेखा (जनक रेखा);
- अतिपरवलय जैसा कट → प्रतिच्छेदी रेखा-युग्म।
वृत्त
वृत्त उन सभी बिंदुओं का समुच्चय है जो एक स्थिर बिंदु C(h, k) (केंद्र) से स्थिर दूरी r (त्रिज्या) पर हों। दूरी सूत्र से: (x − h)² + (y − k)² = r²। केंद्र मूल पर: x² + y² = r²।
व्यापक रूप: x² + y² + 2gx + 2fy + c = 0, केंद्र (−g, −f), त्रिज्या √(g² + f² − c)। पूर्ण वर्ग बनाकर निकालो।
परवलय
परवलय उन बिंदुओं का समुच्चय है जो एक स्थिर बिंदु (नाभि) और एक स्थिर रेखा (नियता) से बराबर दूर हों।
| समीकरण | नाभि | नियता | खुलता है |
|---|---|---|---|
| y² = 4ax | (a, 0) | x = −a | दाएँ |
| y² = −4ax | (−a, 0) | x = a | बाएँ |
| x² = 4ay | (0, a) | y = −a | ऊपर |
| x² = −4ay | (0, −a) | y = a | नीचे |
नाभिलंब: नाभि से होकर अक्ष पर लंब जीवा। लंबाई 4a।
दीर्घवृत्त
दीर्घवृत्त: दो स्थिर बिंदुओं (नाभियों) से दूरियों का योग स्थिर 2a। मानक रूप x²/a² + y²/b² = 1, a > b, c² = a² − b²।
- नाभियाँ (±c, 0); शीर्ष (±a, 0); दीर्घ अक्ष 2a, लघु अक्ष 2b।
- उत्केंद्रता e = c/a, 0 < e < 1।
- नाभिलंब = 2b²/a।
- नाभियाँ y-अक्ष पर हों तो x²/b² + y²/a² = 1 (बड़ी संख्या y² के नीचे)।
अतिपरवलय
अतिपरवलय: दो नाभियों से दूरियों का अंतर स्थिर 2a। मानक रूप x²/a² − y²/b² = 1, c² = a² + b²।
- नाभियाँ (±c, 0); शीर्ष (±a, 0); अनुप्रस्थ अक्ष 2a, संयुग्मी अक्ष 2b।
- e = c/a > 1।
- नाभिलंब = 2b²/a।
- y-अक्ष पर नाभियाँ: y²/a² − x²/b² = 1 (धनात्मक पद अक्ष बताता है)।
- शाखाएँ रेखाओं y = ±(b/a)x के पास पहुँचती हैं।
मुख्य सूत्र और परिभाषाएँ
- (x − h)² + (y − k)² = r²
- x² + y² + 2gx + 2fy + c = 0: centre (−g, −f), r = √(g² + f² − c)
- y² = 4ax: focus (a, 0), directrix x = −a, latus rectum 4a
- x²/a² + y²/b² = 1: c² = a² − b², e = c/a < 1
- x²/a² − y²/b² = 1: c² = a² + b², e = c/a > 1
- Latus rectum of ellipse / hyperbola = 2b²/a
हल किए गए उदाहरण
1. केंद्र (−2, 3) और त्रिज्या 4 वाले वृत्त का समीकरण?
चरण 1: (x + 2)² + (y − 3)² = 16। चरण 2: x² + 4x + 4 + y² − 6y + 9 = 16। चरण 3: x² + y² + 4x − 6y − 3 = 0।
2. x² + y² + 8x − 10y − 8 = 0 का केंद्र और त्रिज्या?
चरण 1: (x² + 8x + 16) + (y² − 10y + 25) = 8 + 16 + 25। चरण 2: (x + 4)² + (y − 5)² = 49। चरण 3: केंद्र (−4, 5), त्रिज्या 7।
3. y² = 12x की नाभि, नियता और नाभिलंब?
चरण 1: 4a = 12, a = 3। चरण 2: नाभि (3, 0), नियता x = −3। चरण 3: नाभिलंब = 12।
4. x² = −16y की नाभि और नियता?
चरण 1: 4a = 16, a = 4। चरण 2: नीचे खुलता है: नाभि (0, −4)। चरण 3: नियता y = 4।
5. शीर्ष मूल पर, अक्ष x-अक्ष, (2, 3) से जाने वाला परवलय?
चरण 1: y² = 4ax। चरण 2: 9 = 4a × 2 → 4a = 9/2। चरण 3: 2y² = 9x।
6. x²/25 + y²/9 = 1 की नाभियाँ, उत्केंद्रता, नाभिलंब?
चरण 1: a = 5, b = 3। चरण 2: c = 4 → नाभियाँ (±4, 0)। चरण 3: e = 4/5; नाभिलंब = 18/5।
7. शीर्ष (±13, 0) और नाभियाँ (±5, 0) वाला दीर्घवृत्त?
चरण 1: a = 13, c = 5। चरण 2: b² = 169 − 25 = 144। चरण 3: x²/169 + y²/144 = 1।
8. 9y² − 4x² = 36 की नाभियाँ और उत्केंद्रता?
चरण 1: y²/4 − x²/9 = 1, अक्ष y पर। चरण 2: a = 2, b = 3, c = √13। चरण 3: नाभियाँ (0, ±√13), e = √13/2।
9. नाभियाँ (±5, 0), अनुप्रस्थ अक्ष 8 वाला अतिपरवलय?
चरण 1: a = 4, c = 5। चरण 2: b² = 25 − 16 = 9। चरण 3: x²/16 − y²/9 = 1।
आम गलतियाँ
- दीर्घवृत्त में c² = a² + b² लगाना। दीर्घवृत्त में a² − b²; प्लस सिर्फ अतिपरवलय में।
- अक्ष गलत पढ़ना: दीर्घवृत्त में बड़ा हर, अतिपरवलय में धनात्मक पद अक्ष तय करता है।
- y² = 12x में a = 12 ले लेना। 4a = 12, इसलिए a = 3।
- पूर्ण वर्ग बनाते समय अचर पद दूसरी ओर न ले जाना, जिससे त्रिज्या गलत आती है।