निर्देशांकों में वृत्त क्या है?
वृत्त उन सभी बिंदुओं का समूह है जो एक तय बिंदु से बराबर दूरी पर हों। तय बिंदु केंद्र है। तय दूरी त्रिज्या r है।
केंद्र C(h, k) और वृत्त पर कोई बिंदु P(x, y) लीजिए। दूरी सूत्र से CP = √((x − h)² + (y − k)²)। यह r के बराबर है। दोनों ओर वर्ग कीजिए:
(x − h)² + (y − k)² = r² (केंद्र-त्रिज्या रूप या मानक रूप)
केंद्र मूलबिंदु पर हो तो h = k = 0 और समीकरण x² + y² = r²।
कोई बिंदु समीकरण को सही करे तो वह वृत्त पर है। बायाँ पक्ष r² से छोटा आए तो बिंदु अंदर, बड़ा आए तो बाहर है।
व्यापक रूप: केंद्र और त्रिज्या निकालना
(x − h)² + (y − k)² = r² के कोष्ठक खोलिए:
x² + y² − 2hx − 2ky + (h² + k² − r²) = 0।
यानी हर वृत्त को x² + y² + Dx + Ey + F = 0 लिख सकते हैं। कई किताबें इसे x² + y² + 2gx + 2fy + c = 0 लिखती हैं।
- केंद्र = (−D/2, −E/2), या (−g, −f)।
- r² = (D/2)² + (E/2)² − F, या r² = g² + f² − c।
वापस जाने के लिए x और y दोनों में पूर्ण वर्ग बनाइए। उदाहरण: x² + y² − 6x + 4y − 3 = 0 → (x − 3)² − 9 + (y + 2)² − 4 − 3 = 0 → (x − 3)² + (y + 2)² = 16। केंद्र (3, −2), त्रिज्या 4।
यह सचमुच वृत्त कब है?
x² और y² के गुणांक बराबर हों और xy वाला पद न हो। r² धनात्मक आए तो असली वृत्त। r² = 0 हो तो केवल एक बिंदु। r² ऋणात्मक हो तो कोई बिंदु नहीं।
रेखा और वृत्त
केंद्र (h, k) से रेखा ax + by + c = 0 की लंब दूरी d निकालिए: d = |ah + bk + c| / √(a² + b²)।
- d < r: रेखा वृत्त को 2 बिंदुओं पर काटती है (छेदक रेखा)।
- d = r: रेखा 1 बिंदु पर छूती है (स्पर्श रेखा)। उस बिंदु तक की त्रिज्या रेखा पर लंब होती है।
- d > r: कोई साझा बिंदु नहीं।
बीजगणित वाला तरीका
रेखा से y निकालकर वृत्त में रखिए। x में द्विघात समीकरण मिलेगा। उसका विविक्तकर Δ = b² − 4ac भी यही बताता है: Δ > 0 दो बिंदु, Δ = 0 एक बिंदु, Δ < 0 कोई नहीं। द्विघात हल करने से मिलन बिंदु मिलते हैं।
वृत्त के बिंदु पर स्पर्श रेखा
x² + y² = r² के बिंदु (x₁, y₁) पर स्पर्श रेखा x₁x + y₁y = r² है। सामान्यतः यह (x₁, y₁) से जाने वाली और त्रिज्या पर लंब रेखा है।
दो वृत्त
त्रिज्याएँ r₁ और r₂ हों और केंद्रों की दूरी d हो।
- d > r₁ + r₂: अलग-अलग, कोई साझा बिंदु नहीं।
- d = r₁ + r₂: बाहर से स्पर्श, 1 बिंदु।
- |r₁ − r₂| < d < r₁ + r₂: 2 बिंदुओं पर काटते हैं।
- d = |r₁ − r₂|: अंदर से स्पर्श, 1 बिंदु।
- d < |r₁ − r₂|: एक वृत्त दूसरे के अंदर, कोई बिंदु नहीं (d = 0 हो तो संकेंद्रीय वृत्त)।
मिलन बिंदु निकालने के लिए एक समीकरण को दूसरे से घटाइए। x² और y² कट जाते हैं और एक सीधी रेखा (उभयनिष्ठ जीवा) बचती है। इस रेखा को किसी एक वृत्त के साथ हल कीजिए।
करके देखिए
ग्राफ़ पेपर पर पिन और धागे से (0, 0) के चारों ओर 5 त्रिज्या का वृत्त बनाइए। उस पर पड़ने वाले सभी 12 कोने खोजिए: (±3, ±4), (±4, ±3), (±5, 0), (0, ±5)। 3D में चरण 4 चुनिए और रेखा सरकाइए: d जैसे ही r को पार करता है, पीले मिलन बिंदु 2 से 1 और फिर 0 हो जाते हैं।
मुख्य सूत्र और परिभाषाएँ
- केंद्र (h, k), त्रिज्या r: (x − h)² + (y − k)² = r²
- केंद्र मूलबिंदु पर: x² + y² = r²
- व्यापक रूप: x² + y² + Dx + Ey + F = 0, केंद्र (−D/2, −E/2), r² = D²/4 + E²/4 − F
- (h, k) से ax + by + c = 0 की दूरी: d = |ah + bk + c| / √(a² + b²)
- रेखा और वृत्त: d < r → 2 बिंदु; d = r → स्पर्श रेखा; d > r → कोई नहीं
- दो वृत्त: d की तुलना r₁ + r₂ और |r₁ − r₂| से
- x² + y² = r² के (x₁, y₁) पर स्पर्श रेखा: x₁x + y₁y = r²
हल किए गए उदाहरण
1. केंद्र (0, 0) और त्रिज्या 6 वाले वृत्त का समीकरण लिखिए।
x² + y² = 6² → x² + y² = 36।
2. केंद्र (2, −3) और त्रिज्या 4 वाले वृत्त का समीकरण लिखिए।
(x − 2)² + (y − (−3))² = 4² → (x − 2)² + (y + 3)² = 16।
3. (x + 1)² + (y − 5)² = 49 का केंद्र और त्रिज्या बताइए।
चिह्न उलटिए: केंद्र (−1, 5)। r² = 49, तो r = 7।
4. x² + y² − 8x + 2y + 8 = 0 का केंद्र और त्रिज्या निकालिए।
समूह बनाइए: (x² − 8x) + (y² + 2y) = −8। पूर्ण वर्ग: (x − 4)² − 16 + (y + 1)² − 1 = −8 → (x − 4)² + (y + 1)² = 9। केंद्र (4, −1), त्रिज्या 3।
5. व्यास के सिरे A(1, 2) और B(7, 10) हों तो वृत्त का समीकरण निकालिए।
केंद्र = मध्यबिंदु = (4, 6)। r = (4, 6) से (1, 2) की दूरी = √(9 + 16) = 5। समीकरण: (x − 4)² + (y − 6)² = 25।
6. क्या रेखा y = x + 1 वृत्त x² + y² = 5 से मिलती है? बिंदु निकालिए।
रखिए: x² + (x + 1)² = 5 → 2x² + 2x − 4 = 0 → x² + x − 2 = 0 → (x + 2)(x − 1) = 0। x = −2 पर y = −1; x = 1 पर y = 2। दो बिंदु: (−2, −1) और (1, 2)। d से जाँच: d = 1/√2 ≈ 0.71 < √5 ≈ 2.24।
7. c के किस धनात्मक मान पर रेखा 3x + 4y + c = 0 वृत्त x² + y² = 4 की स्पर्श रेखा है?
स्पर्श यानी d = r। d = |c|/√(9 + 16) = |c|/5। |c|/5 = 2 → c = 10।
8. वृत्त x² + y² = 9 और (x − 5)² + y² = 4 की स्थिति क्या है?
केंद्र (0, 0) और (5, 0), तो d = 5। r₁ = 3, r₂ = 2, r₁ + r₂ = 5 = d। ये बाहर से एक बिंदु (3, 0) पर छूते हैं।
आम गलतियाँ
- चिह्न वैसा ही रख देना: (x − 2)² + (y + 3)² = 16 का केंद्र (2, −3) है, (−2, 3) नहीं।
- वर्ग भूल जाना: दाईं ओर r² है, तो r² = 16 का मतलब r = 4, न कि 16।
- हर द्विघात समीकरण को वृत्त मान लेना: x² + 2y² = 4 वृत्त नहीं, क्योंकि x² और y² के गुणांक अलग हैं।
- रेखा की जाँच में d की तुलना त्रिज्या की जगह व्यास से करना।