कोज्या नियम क्या है?
त्रिभुज ABC में भुजा a कोण A के सामने, b कोण B के सामने और c कोण C के सामने है। कोण C भुजाओं a और b के बीच है।
कोज्या नियम (cosine rule) कहता है:
c² = a² + b² − 2ab cos C
यही ढाँचा हर भुजा पर लगता है:
- a² = b² + c² − 2bc cos A
- b² = a² + c² − 2ac cos B
पहचान: बाईं ओर की भुजा, दाईं ओर के कोण के सामने होती है।
पाइथागोरस इसकी एक ख़ास स्थिति है
C = 90° हो तो cos C = 0, आख़िरी पद ग़ायब, और c² = a² + b² — पाइथागोरस।
- C, 90° से बड़ा (अधिककोण): cos C ऋणात्मक, तो −2ab cos C धनात्मक। c², a² + b² से ज़्यादा।
- C, 90° से छोटा (न्यूनकोण): cos C धनात्मक, तो c², a² + b² से कम।
इससे भुजाओं से ही त्रिभुज का प्रकार पता चलता है: सबसे लंबी भुजा c के लिए c² और a² + b² की तुलना करो।
यह सही क्यों है: प्रमाण
C को मूल बिंदु पर रखो और भुजा b को x-अक्ष पर, तो A = (b, 0)। बिंदु B, C से a दूरी पर कोण C पर है, तो B = (a cos C, a sin C)।
भुजा c, A से B की दूरी है:
c² = (a cos C − b)² + (a sin C)²
= a² cos² C − 2ab cos C + b² + a² sin² C
= a²(cos² C + sin² C) + b² − 2ab cos C
= a² + b² − 2ab cos C, क्योंकि cos² C + sin² C = 1।
यह प्रमाण न्यूनकोण और अधिककोण दोनों के लिए चलता है।
त्रिभुज हल करना: SAS और SSS
दो भुजाएँ और बीच का कोण (SAS)
सीधे मान रखो: a = 5, b = 8, C = 60° से c² = 25 + 64 − 80 × 0.5 = 49, तो c = 7।
तीन भुजाएँ (SSS)
कोण के लिए उलटो: cos C = (a² + b² − c²) ÷ 2ab। पहले सबसे बड़ा कोण निकालो (सबसे लंबी भुजा के सामने); बाक़ी दो न्यूनकोण होंगे।
भुजाएँ 5, 7, 8: cos C = (25 + 49 − 64) ÷ 70 ≈ 0.143, तो C ≈ 81.8°।
ज्या नियम या कोज्या नियम?
- पूरी भुजा–कोण जोड़ी पता → ज्या नियम।
- SAS या SSS → कोज्या नियम।
परीक्षा के सुझाव और उपयोग
- पहले वर्ग करो, फिर घटाओ (a² + b² − 2ab cos C), वर्गमूल सबसे आख़िर में।
- ऋणात्मक cos का मतलब अधिककोण। कैलकुलेटर का cos⁻¹ 0° से 180° तक सही कोण देता है, इसलिए SSS में अस्पष्ट स्थिति नहीं होती।
- अगर cos C का मान −1 से 1 के बाहर आए, तो ये लंबाइयाँ त्रिभुज नहीं बना सकतीं।
- उपयोग: नौवहन (दो जहाज़ों की दूरी), भूमि सर्वेक्षण, रोबोट की बाँह, दो सदिशों के बीच का कोण।
मुख्य सूत्र और परिभाषाएँ
- c² = a² + b² − 2ab cos C
- a² = b² + c² − 2bc cos A; b² = a² + c² − 2ac cos B
- cos C = (a² + b² − c²) ÷ 2ab
- C = 90° → c² = a² + b² (पाइथागोरस)
- c² > a² + b² → C अधिककोण; c² < a² + b² → C न्यूनकोण
हल किए गए उदाहरण
1. a = 5, b = 8, C = 60°। c निकालो।
c² = 25 + 64 − 2 × 5 × 8 × cos 60° = 89 − 40 = 49। c = 7।
2. a = 4, b = 6, C = 120°। c निकालो।
cos 120° = −0.5। c² = 16 + 36 + 24 = 76। c = √76 ≈ 8.72।
3. भुजाएँ 5, 7, 8 हैं। सबसे बड़ा कोण निकालो।
सबसे बड़ा कोण 8 के सामने। cos C = (25 + 49 − 64) ÷ 70 ≈ 0.1429। C ≈ 81.8°।
4. भुजाएँ 3, 5, 7 हैं। त्रिभुज न्यूनकोण, समकोण या अधिककोण? सबसे बड़ा कोण निकालो।
7² = 49 और 3² + 5² = 34। 49 > 34, तो अधिककोण। cos C = (9 + 25 − 49) ÷ 30 = −0.5, तो C = 120°।
5. बंदरगाह से दो जहाज़ निकले। एक 30 किमी और दूसरा 40 किमी चला, दोनों के रास्तों में 70° का कोण है। वे कितनी दूर हैं?
d² = 900 + 1600 − 2400 × 0.3420 = 1679.2। d ≈ 41.0 किमी।
6. समांतर चतुर्भुज की भुजाएँ 6 सेमी और 10 सेमी हैं, बीच का कोण 60°। दोनों विकर्ण निकालो।
छोटा विकर्ण: d² = 136 − 120 × 0.5 = 76, d ≈ 8.72 सेमी। बड़ा विकर्ण 120° के सामने: d² = 136 + 60 = 196, d = 14 सेमी।
7. भुजाएँ 2, 3 और 6। क्या त्रिभुज बनेगा?
cos C = (4 + 9 − 36) ÷ 12 = −1.92, जो −1 से कम है। असंभव, कोई त्रिभुज नहीं (2 + 3 < 6 भी)।
आम गलतियाँ
- ऐसा कोण लेना जो दोनों दी हुई भुजाओं के बीच न हो। c² = a² + b² − 2ab cos C में C, a और b के बीच होना चाहिए।
- (a² + b² − 2ab) × cos C करना। cos C से सिर्फ़ 2ab गुणा होता है।
- अधिककोण में ऋण चिह्न भूल जाना: −2ab × (−0.5) = +ab, यानी जुड़ता है।
- आख़िर में वर्गमूल लेना भूल जाना: c² = 49 का मतलब c = 7, 49 नहीं।